bélyegkép|A fél nagytengely egy ellipszisben.
A fél nagytengely geometriai fogalom, amely ellipszisek és hiperbolák méretét jelöli. Ellipszis A nagytengely az ellipszis két pontját összekötő azon egyenes szakasz, amely áthalad mindkét fókuszponton. A fél nagytengely ennek a fele; a középpontból indul az egyik fókuszponton át a csúcsig. Speciálisan, ha az ellipszis kör, akkor a fél nagytengely, és a fél kistengely is megegyezik a kör sugarával. Megfordítva, az ellipszis fél nagytengelyére gondolhatunk úgy, mint az ellipszis legnagyobb sugarára.
A fél nagytengely közvetlen kapcsolatban áll az ellipszis excentricitásával és a fókuszon átmenő, nagytengelyre merőleges húrral. A következő képletekben az excentricitás e, a fél kistengely b, és a fókuszon átmenő, nagytengelyre merőleges húr fele ℓ:
A fél nagytengely hossza éppen az ellipszis egy pontja és az egyik fókuszpont távolságának középértéke.
Helyezzük el az ellipszist úgy, hogy az egyik fókuszpontja az origóban, a másik az x tengelyen legyen! Polárkoordinátákban tekintve az ellipszis egyenletét:
Az és az középértéke:
Hiperbola A hiperbola fél nagytengelye a hiperbola két ágának távolságának fele. Szokták ennek még a mínusz egyszeresét venni, a konvencióktól függően. A következő egyenletekben a hiperbola fél nagytengelyét a, a fél kistengelyét b, és a fókuszon átmenő, nagytengelyre merőleges húr felét ℓ. Ekkor:
és
A hiperbola transzverzális tengelyének iránya megegyezik a nagytengely irányával. Parabola Egy parabola tekinthető egy ellipszisekből álló sorozat határértékének, ahol is az egyik fókusz rögzített, míg a másik mindennél messzebb kerül. Eközben a fókuszon átmenő, nagytengelyre merőleges húr változatlan. Ekkor mindkét tengely hossza a végtelenbe tart; a nagytengely valamivel gyorsabban nő, mint a kistengely. Csillagászat Keringési idő A csillagászatban a fél nagytengely az égitestek ellipszis alakú pályáinak meghatározó eleme.
A keringő égitestek T keringési ideje
ahol a a pálya fél nagytengelye, és μ az alap gravitációs paraméter. Tehát a keringési idő független az excentricitástól.
A Naprendszerben a fél nagytengely és a keringési idő közötti összefüggés követi a harmadik Kepler-törvényt:
ahol T-t években, a-t csillagászati egységben mérik. Ez a képlet a kéttest-probléma egyszerűsített leírása. A Newton által meghatározott alak:
ahol G a gravitációs állandó, M a középponti, és m a keringő test tömege. Tipikusan M nagyságrendekkel nagyobb, mint m, ezért m elhanyagolható. Átlagos távolság Gyakran mondják, hogy a fél nagytengely a keringő és a középponti test átlagos távolsága. Ez azonban nem pontos, mert a különféle paraméterezések más és más középértéket adnak: A középponttól mért szög alapján vett középérték a fél nagytengelyt adja A fókusztól mért szög alapján véve a középértéket a fél kistengelyt kapjuk: Az eltelt idő és a keringési idő hányadosával számolva
Az ellipszissel azonos területű kör sugara a mértani középpel számítható:
Energia Az a fél nagytengely kiszámítható a következőképpen:
elliptikus, és ez vagy ellentettje hiperbolikus pálya esetén,
ahol a specifikus orbitális energia, és a gravitációs együttható.
Továbbá: v a keringő égitest kerületi sebessége r a keringő égitest helyvektora G a gravitációs állandó M és m a két test tömege.
Adott össztömeg és összenergia esetén a nagytengely azonos marad, tekintet nélkül az excentricitásra és a két test tömegének arányára. Megfordítva, adott össztömeg és adott nagytengely esetén az összenergia mindig ugyanaz marad.
Jelölése Semi major axis: a.
Jegyzetek
Források Ellipszis kis- és nagytengelye
Fordítás
Kategória:Euklideszi geometria Kategória:Csillagászati alapfogalmak