A belső rész egy topológiai fogalom. Egy S halmaz belső része azon S-beli pontok halmaza amelyek nem eleme S határának. Ezeket a pontokat S belső pontjainak hívjuk.
Ezzel ekvivalens definíció szerint S belső része az S komplementerének a lezártjának a komplementere. Ebből következően valamilyen szinten a halmazok lezártja és a belső része szorosan összetartozó fogalmak.
Egy halmaz külső része pedig megegyezik a halmaz komplementerének a belső részével, vagy másképp, a halmaz lezártjának a komplementerével. Egy halmaz külső része azon pontok halmaza, amelyek nem elemei sem a halmaznak sem a halmaz határának. A egy halmaz belső része, a határa és a külső része a teljes topologikus teret 3 (vagy kevesebb ha valamelyik üres halmaz) diszjunkt részre particionálja. A belső rész és a külső rész mindig nyitott halmazok míg a határ mindig zárt halmaz. Azokat a halmazokat, amelyek belső része üres halmaz, határhalmazoknak nevezzük.
Definíciók Belső pont Ha S egy euklideszi tér részhalmaza, akkor x az S belső pontja, ha létezik olyan nyílt halmaz, amelynek x eleme és amely S részhalmaza.
Ez a definíció a metrikus térben értelmezett belső pont definíciójának kiterjesztése. Ha ugyanis X metrikus tér d metrikával, akkor x az S belső pontja, ha létezik r > 0, úgy, hogy az X bármely y pontjára teljesül, hogy ha d(x, y) < r, akkor y eleme S-nek.
A topologikus terek esetén a nyílt halmazt (gömböt) lecseréli a környezet fogalma. Legyen S egy részhalmaza az X topologikus térnek. Ekkor ha x az S belső pontja, akkor létezik x-nek egy környezete, amely részhalmaza S-nek. Ez a definíció nem követeli meg a környezetek nyitottságát.
Egy halmaz belső része Egy S halmaz belső része S összes belső pontjának a halmaza. A belső részt int(S), Int(S), vagy So-el jelölik. A belső részre a következők igazak: int(S) az S halmaz egy nyílt részhalmaza. int(S) az összes lehetséges nyílt halmaz uniója amelyeket S bennfoglal. int(S) a legnagyobb nyílt halmaz amely részhalmaza S-nek. Egy S halmaz nyílt akkor és csak akkor ha S = int(S). int(int(S)) = int(S) (idempotencia). Ha S részhalmaza T-nek akkor int(S) is részhalmaza int(T)-nek. Ha A egy nyílt halmaz akkor, akkor és csak akkor részhalmaza S-nek ha A részhalmaza int(S)-nek.
Néha a második vagy a harmadik tulajdonságot a belső rész definíciójaként használják.
Példák
Bármely térben, üres halmaz belső része üres halmaz. Bármely X térben ha akkor ahol A belső része. Ha X az euklidészi tere az valós számoknak akkor . Ha X az euklidészi tere a valós számoknak akkor a racionális számok halmazának a belső része üres halmaz. Ha X a komplex számsík akkor Bármilyen euklidészi térben a belső része bármely véges halmaznak üres halmaz.
Belső rész operátor
A belső rész operátor o "megfeleltethető" halmaz lezártjának operátorának —-nak, a következőképpen.
So = X \ (X \ S)—,
valamint:
S— = X \ (X \ S)o
ahol X a topologikus tér aminek részhalmaza S.
Halmazok külső része
Egy S halmaz külső részét, ha a teljes topológia X, ext(S)-sel vagy Ext(S)-sel jelölik, és ez megfelel S relatív komplementerének(X-re nézve) a belső részének: int(X \ S). Vagy másképp: X \ S—, vagyis a komplementere S lezártjának. Tulajdonságai:
ext(S) egy nyílt halmaz amely diszjunkt S-től. ext(S) az összes olyan nyílt halmaz uniója amelyek diszjunktak S-től. ext(S) a legnagyobb nyílt halmaz amely diszjunkt S-től. Ha S, a T egy részhalmaza, akkor ext(S) bennfoglalja ext(T)-t.
A külső rész operátor nem idempotens, de teljesül hogy:
ext(ext(S)) bennfoglalja int(S)-t.
Belső rész diszjunkt alakzatok
Két alakzat a és b úgynevezett belső rész diszjunktak, ha a belső részeik metszete üres halmaz. Ezen alakzatok határaiknál lehet, hogy érintkeznek.
Fordítás
Kapcsolódó szócikkek Algebrai belső rész Jordan görbe tétel
Források
Külső hivatkozások Interior at PlanetMath.org
Kategória:Topológia