A matematikában és a fizikában az Euler–Lagrange-egyenlet vagy Euler-egyenlet egy differenciálegyenlet, amelynek megoldásai olyan függvények, amelyekre egy adott funkcionálnak stacionárius pontja van. Az egyenlettel először Leonhard Euler és Joseph Louis Lagrange matematikus foglalkozott.
Mivel a differenciálható funkcionáloknak stacionárius pontja van a lokális szélsőértékeiknél, így az egyenlet használható optimalizációs problémák megoldásakor, melyekben egy olyan függvényt keresünk, mely egy adott funkcionált minimalizál vagy pedig maximalizál. Analízisben hasonló elven működik a Fermat-tétel, mely kimondja, hogy amelyik pontban egy valós függvénynek lokális szélsőértéke van, abban a pontban a függvény deriváltja nulla.
A hatáselv alapján egy erőhatás alatt álló test pályája pontosan az a pálya lesz, mely mentén a hatás stacionárius. A stacionárius pontok, melyek a rendszer mozgásegyenleteinek felelnek meg, meghatározhatóak olyan módon az Euler-Lagrange-egyenlettel, hogy azok Newton törvényeivel összeegyeztethetőek legyenek. Az egyenletnek egy rokon változata fellelhető a klasszikus térelméletben is, mely egy tetszőleges mező dinamikáját határozza meg.
Története
Az egyenletet először Euler és Lagrange vezette le az 1750-es években, amikor az izokrón görbe matematikai leírására kerestek megoldást. Az izokrón görbe egy olyan súrlódásmentes pálya, melynek ha bármelyik pontjára egy tömegpontot helyezünk, akkor az a kezdeti elhelyezéstől függetlenül, ugyanannyi idő alatt ér a görbe végpontjába.
Az egyenlet első változata Lagrange-tól származik 1755-ből, aki azt elküldte Eulernek. Ezután együttesen továbbfejlesztették Lagrange módszerét és klasszikus mechanikai feladatok megoldására alkalmazták. Az eredményeik végül a variációszámítás területének kialakulásához vezetett.
A tétel Az Euler–Lagrange-egyenlet egy olyan differenciálegyenlet, amelynek megoldása egy q(t) függvény, amely az S[q] hatásfunkcionálnak:
stacionárius pontja. Ahol: q, a keresett függvény, amire teljesül
ahol X egy n dimenziós differenciálható sokaság, q differenciálható és q(a) = xa és q(b) = xb; jelöli q idő szerinti deriváltját:
L pedig egy valós értékű függvény, folytonos parciális deriváltakkal:
ahol TX az X sokaság tangens nyalábja.
A S[q] hatásnak q(t) akkor és csak akkor stacionárius pontja, amennyiben az Euler–Lagrange-egyenlet
teljesül.
Bizonyítás egy dimenzióra Az Euler–Lagrange-egyenlet bizonyításában olyan f függvényt keresünk, mely a következő funkcionálnak stacionárius pontja
továbbá teljesíti a f(a)=A és f(b)=B peremfeltételeket. Feltesszük, hogy L (legalább) kétszer differenciálható. Amennyiben f stacionárius pontja a J[f] funkcionálnak, akkor bármely perturbáció
amely szintúgy teljesíti az előbb megadott peremfeltételeket (tehát ), vagy növeli vagy csökkenti J értékét. A J funkcionálnak a perturbált függvényen felvett értékét függvényében a következőképp definiáljuk:
A függvényt deriválva a következő eredményt kapjuk meg:
Amennyiben nincs perturbáció (azaz ), -nek szélsőértéke van, tehát
Az integrál alatt szereplő kifejezés második tagját parciálisan integráljuk:
A peremfeltételeket (miszerint ) alkalmazva:
Mivel tetszőlegesen választható, az Euler–Lagrange-egyenlet a variációszámítás lemmájából következik:
Példa Az egyik legegyszerűbb példája az Euler–Lagrange-egyenlet alkalmazására egy olyan y(x) valós függvény keresése [a, b] intervallumon, melyre teljesül y(a)=c, y(b)=d, továbbá az y függvény görbéjének hossza a lehető legrövidebb. Egy adott függvénygörbe hosszát a következő (hatás)integrál írja le:
így . Az L függvény parciális deriváltjai a következők:
.
Ezeket a deriváltakat az Euler–Lagrange-egyenletbe behelyettesítve a következő eredményt kapjuk:
Tehát a keresett y(x) függvénynek első deriváltja konstans kell, hogy legyen. A korábban megadott peremfeltételek következtében az egyenletnek egyetlen megoldása van, mégpedig az a és b pontokat összekötő lineáris függvény.
Fordítás
Jegyzetek
Források
Kategória:Fizika Kategória:Differenciálegyenletek