thumb|Egységkocka a Rupert-féle kocka számára vágott lyukkal
A geometriában a Rupert-féle kocka a legnagyobb kocka, amely átfér egy egységkockán vágott lyukon. A Rupert-féle kocka élhossza mintegy 6%-kal haladja meg az egységkockáét. Egy rokon probléma az, hogy keressük meg a legnagyobb négyzetet, ami egy kockában elfér. Ebben a négyzet oldalhossza megegyezik a Rupert-féle kocka élhosszával. A kockát Rupert pfalzi hercegről nevezték el, aki a 17. században először foglalkozott a problémával.
Megoldás Ha az egységkocka két szomszéd élén kiválasztjuk azt a két pontot, amelyek a két él közös csúcsától számítva 3/4 távolságra helyezkednek el, akkor a pontok közötti távolság
A szemközti pontokkal együtt alkotott négyzet teljesen a kockában van. Ezt a négyzetet a síkjára merőlegesen mindkét irányban meghosszabbítva egy olyan lyukat alkot, amin átfér egy egységnyinél nagyobb élhosszú kocka.
Az egységkocka maradék részei két háromszögű prizma és két nem szabályos tetraéder, amelyeket a négyzet csúcspontjai kapcsolnak össze. Egy-egy prizma hat csúcsából kettő a kocka csúcsa, a többi pont ezektől a csúcsoktól 1/4 távolságra van. A tetraéderek egyik csúcsa a kocka csúcsa, a többi közül kettő 3/4, egy 3/16 távolságra van az adott csúcsból kiinduló élen.
Története thumb|Rupert-féle kocka 3D modellje
A Rupert-féle kockát Rupert pfalzi herceg után nevezték el, aki egy John Wallis angol matematikustól származó 1693-as történet szerint fogadott arra, hogy egy kockán vágható akkora lyuk, hogy egy másik ugyanolyan kockát át lehessen rajta tolni. Wallis megmutatta, hogy ez lehetséges, így a herceg megnyerte a fogadást.
Wallis feltette, hogy a lyuknak párhuzamosnak kell lennie a kocka térátlójával. Az erre az átlóra merőleges síkra vetítve a kocka képe szabályos hatszög, és a térátlóval párhuzamos legjobb lyuk az ebbe a hatszögbe írt lehető legnagyobb négyzet. Kiszámítva ennek oldalhosszát, kapjuk, hogy
,
azaz az eredetinél egy kicsit nagyobb kocka átfér rajta.
Körülbelül száz év múlva a holland Pieter Nieuwland felfedezte, hogy Wallis nem a lehető legnagyobb lyukat találta meg: az optimális megoldásban a lyuk nem párhuzamos a térátlóval. Nieuwland 1794-ben meghalt, egy évvel azután, hogy professzor lett a leideni egyetemen. Eredményét mentora, Jean Henri van Swinden hozta nyilvánosságra 1816-ban.. Notes for “Recreational Mathematics: A Short Course in Honor of the 300th Birthday of Benjamin Franklin,” Mathematical Association of America, Albuquerque, NM, August 2-3, 2005..
Azóta a Rupert-féle kocka a matematikai ismeretterjesztés népszerű témájává vált, számtalan könyvben szerepel (nem ritkán a nem-optimális, Wallis-féle megoldással).... Reprinted as .. Translated from the Polish by Waclaw Zawadowski....
Modellek A modellalkotást megnehezíti, hogy nagyon pontosnak kell lenni, és az, hogy a megmaradt darabok egy-egy ponton függnek össze. Emiatt a problémát szokás elméletileg lehetségesnek, de gyakorlatilag lehetetlennek mondani.. Ezzel szemben 1950-ben D. J. E. Schrek fényképeket adott ki egy kockamodellről, amely egy másik kockába vágott lyukba illeszkedett.. As cited by and . Martin Raynsford egy sablonnal tervezett modelleket, azonban ezeken a modelleken a lyuk jóval kisebb, mint az a kocka, aminek át kellene rajta haladnia.. Originally published in Make Online.
Általánosítások A kocka nem az egyetlen test, ami át tud haladni saját másolatán. Hasonlók igazak a szabályos tetraéderre és oktaéderre is..
A probléma egy másik megfogalmazása a legnagyobb négyzetet keresi a kockában. Általánosabban, megmutatta, hogyan lehet megtalálni a lehető legnagyobb rögzített oldalarányú téglalapot. Ezek a téglalapok mind átmennek a kocka középpontján, és csúcsaik a kocka éleire illeszkednek. Innen kiindulva megmutatták, hogy a téglalap vagy abban a síkban fekszik, amely átlósan átmegy a kocka négy csúcsán, vagy a Rupert-féle kockához hasonlóan, egy egyenlő szárú derékszögű háromszög által meghatározott két pont és szemközti párjaik lesznek a téglalap csúcsai. A legnagyobb területű téglalap egyik oldalpárja a kockának is éle, másik oldalpárja pedig a kocka lapátlója..
A kérdés más dimenziókban is feltehető, vagyis keressük a legnagyobb dimenziós hiperkockát, amely teljes egészében része egy dimenziós hiperkockának. Az arányszám mindig algebrai. Az eset egy kockát keres egy 4 dimenziós hiperkockában. Martin Gardner a Scientific Americanben feltett kérdésére Kay R. Pechenick DeVicci és több más olvasó belátta, hogy a (3,4) esetben ez a szám kisebb, mint a kisebbik gyökének a négyzetgyöke, ami megközelítőleg 1,007435... Az esetén a legnagyobb négyzetet keressük az dimenziós hiperkockában. Ha páros, akkor a négyzet oldala , ha páratlan, akkor .
Jegyzetek
Fordítás
Külső hivatkozások Animált rupert-féle kocka (youtube)
Kategória:Kocka