Az euklideszi gyűrű a számelmélet és az algebra egyik speciális fogalma. Lényegében egy olyan gyűrű, amiben a maradékos osztás, más néven euklideszi osztás tétele igaz. Utóbbinak feltétele, hogy egy speciális függvény, az euklideszi norma legyen értelmezve a gyűrűn.
Az euklideszi gyűrűk lényeges szerepet játszanak az algebrában, mivel számos „jó” tulajdonságuk van, például teljesül bennük a számelmélet alaptétele.
Definíció Egy R integritástartományt euklideszi gyűrűnek nevezünk, ha benne norma értelmezhető, azaz , valamint minden és számmal elvégezhető a maradékos osztás, azaz . Bizonyítható, hogy ha ez létezik, akkor egyértelmű.
Példák
Az alábbiak euklideszi gyűrűk, ez általában könnyen ellenőrizhető. Az egész számok gyűrűje a hagyományos abszolút értékkel, mint normával ellátva. A definíció első felének teljesülése könnyen ellenőrizhető, a maradékos osztás pedig eredetileg pont itt volt megfogalmazva, ezért mondhatni definíció szerint teljesül. Ha test, akkor a felette lévő polinomgyűrű a fokszám-normával ellátva euklideszi. Itt a fokszám-normát a következő módon definiáljuk:
Egyszerűen ellenőrizhető, hogy ez kielégíti a normára kirótt feltételeket, figyelembe véve, hogy a polinomgyűrűben az egységek éppen a gyűrű alatti test elemei. Már csak az euklideszi osztást kell igazolni. Legyen . Az euklideszi osztás azt jelenti, hogy , hogy és . Ha , akkor . Egyébként legyen , és . Így a polinomok szigorúan csökkenú fokszám-normájú sorozatát kapjuk, tehát lesz olyan , hogy . Ekkor a és polinomok teljesítik a feltételünket, erről visszaszorzással meggyőződhetünk. A Gauss-egészek gyűrűje az euklideszi normával. A normafeltétel teljesülése egyszerűen belátható, a maradékos osztás kissé nehézkesebb. Legyen . Olyan számokat keresünk, hogy . Ha ezt átalakítjuk kissé, akkor kapjuk, hogy , ebből pedig az euklideszi osztás feltétele miatt következik, hogy . Az egyenlőség miatt , ami jó is lesz maradéknak. Legyen tehát , és keressünk olyan számokat, hogy , valamint , azaz legyenek a legközelebbi egészek.Ezek biztosan léteznek az egész számok jólrendezettsége miatt. Ha pedig , akkor készen is vagyunk, mivel . Végtelen ciklikus csoport test feletti csoportgyűrűje is euklideszi.
Tulajdonságok
Minden euklideszi gyűrű egyben főideálgyűrű is. Ez azonban fordítva nem igaz. Bizonyítás: Legyen a gyűrű egy ideálja, és a legkisebb nem nulla normájú eleme. Azt kell belátni, hogy , azaz a gyűrű minden ideálja főideál. A nyilvánvalóan igaz, mivel tartalmazza minden többszörösét. Válasszunk egy tetszőleges elemet -ből. Erre igaz a gyűrű definíciója miatt, hogy , ahol . Ezért , azaz , és mivel minimális volt, ezért lehetséges csak. Ezért , emiatt . A fordítottjára példa az gyűrű, ami főideálgyűrű, de nem euklideszi. Érvényes a számelmélet alaptétele. Azonban attól, hogy egy gyűrűben teljesül ez a tétel, még nem lesz euklideszi. Az euklideszi gyűrűkben minden irreducibilis elem egyben prímtulajdonságú is. E tulajdonság miatt fordulhat elő az a furcsaság, hogy az iskolában a prímszámokat az irreducibilitás kijelentésével definiálják. Minden elempárnak létezik legnagyobb közös osztója. Ez könnyen belátható az euklideszi algoritmus alkalmazásával.
További információk Alice és Bob - 17. rész: Alice és Bob ókori haverja Alice és Bob - 21. rész: Alice és Bob titkosít
Jegyzetek
Kategória:Gyűrűelmélet Kategória:Kommutatív algebra