250px|jobbra A négyzet egyenlő oldalú téglalap, vagyis olyan sokszög, melynek négy egyenlő oldala és négy egyenlő szöge, mégpedig derékszöge van. Szabályos négyszögek vannak a gömbi és a hiperbolikus geometriákban is, de a négyzet megjelölést nem használják síkidomra az euklideszi geometrián kívül.
A négyzet átlói egyenlő hosszúságúak, derékszögben metszik egymást, és ha egy rombusz átlói egyenlő hosszúak, akkor az a rombusz négyzet. A négyzetre ráillik a négyszögek összes speciális tulajdonsága, így a négyzet téglalap, rombusz, deltoid, paralelogramma, húrtrapéz, trapéz, húrnégyszög és érintőnégyszög. Egybevágóság erejéig egy adata meghatározó, például az oldalhossza vagy az átlójának hossza.
Az origó középpontú, 2 oldalhosszúságú négyzet csúcspontjainak koordinátái (±1, ±1) alakban írhatók fel, ugyanennek a négyzetnek a belső pontjait a ‒1 < x < 1 és ‒1 < y < 1 egyenlőtlenségek határozzák meg.
Az euklideszi sík a szabályos sokszögek közül csak a szabályos háromszöggel, a négyzettel és a szabályos hatszöggel parkettázható ki.
Térbeli megfelelője a kocka, és csak ennek a szabályos testnek a lapjai négyzetek. Az általánosabb n-dimenziós testek közül a négyzet kétdimenziós hiperkocka és kétdimenziós keresztpolitóp.
A köznyelvben a négyzetet is néha kockának nevezik, de a geometria szigorúan csak a 3 dimenziós testet nevezi kockának. A matematika más részterületein előfordul, hogy az egységes kezelés érdekében különböző dimenziós kockákról beszélnek.
A négyzet jellemezhető, mint: Egy olyan téglalap, melynek két szomszédos oldala egyenlő hosszú. Rombusz, melynek két szomszédos szöge egyenlő. Derékszögű rombusz Paralelogramma, melynek két szomszédos oldala egyenlő hosszú és két szomszédos szöge egyenlő nagyságú. Paralelogramma, melynek két szomszédos oldala egyenlő hosszú és van derékszöge Négyszög, melynek átlói merőlegesek egymásra és felezik egymást.
{| border="1" cellspacing="0" cellpadding="2" align="center"
! colspan="3" align="center" | Az a oldalú és e átlójú négyzet néhány adata
! align="left" | Oldalhosszúság
! align="left" | Átló
! align="left" | Terület
! align="left" | Kerület
! align="left" | Beírható kör sugara
! align="left" | Köré írható kör sugara
Szerkesztése A négyzet szerkeszthető körzővel és vonalzóval, de csak körzővel is (csúcspontok kitűzése). Szerkesztés adott oldalhosszal thumb|hochkant=1.4|Szerkesztés adott oldalhosszal, elég egy oldalhossznyi körzőbeállítás (Radius = a) Adva van egy a szakasz, A és B végpontokkal. Húzzunk az A pont körül a körzőnyílással egy c1 körívet, ami legalább negyedkör hosszú. Húzzunk a B pont körül a körzőnyílással egy c2 körívet, ami legalább negyedkör hosszú. A két kör metszéspontja legyen M. Húzzunk egy egyenesdarabot a BM pontokon át, legalább kétszer olyan hosszan, mint a BM szakasz. Húzzunk egy kört M középponttal B-n keresztül, ez lesz a ct kör. Kapjuk az E pontot. Húzzunk egy egyenest az AE pontokon keresztül. Ennek c1-gyel vett metszéspontja a D pont. Húzzunk D körül a körzőnyílással egy körívet, ez legyen c3. Ennek metszete c2-vel C. Kössük össze az ABCD pontokat egyenes szakaszokkal, megkaptuk a kívánt négyzetet.
Szerkesztés adott átlóval thumb|hochkant=0.9|Szerkesztés adott átlóval Adva van a d átló a-val és C-vel, mint végpontokkal. Szerkesszük meg az átló felezőmerőlegesét. Ennek metszéspontja az átlóval az M pont. Húzzunk az M körül egy kört A-n keresztül. A felezőmerőleges kimetszi a körből a hiányzó csúcsokat. Kössük össze az ABCD pontokat egyenes szakaszokkal, megkaptuk a kívánt négyzetet. Szerkesztés csak körzővel thumb|balra|hochkant=0.9|Négyzet szerkesztése csak körzővel Adva legyen egy tetszőleges kör M középponttal, és a kerületén egy A pont. Az A pontból az egyik irányban elindulva elindulva AM sugárral elmetsszük a kört, kapjuk a B pontot. Továbbhaladva ugyanezzel a sugárral húzott körívek kimetszik a C és a D pontokat. Ezután az A pontból AC sugárral húzunk körívet. D körül ugyanezzel a sugárral húzunk körívet. Az előző körívvel ez kimetszi az E pontot. D körül húzunk egy ME sugarú körívet, ami az adott kört két pontban is metszi. Ezek a pontok lesznek az F és a G pontok. Az AGDF négyszög az eredeti körbe írt négyzet. Egymásba írt négyzetek thumb|150px|Az átrendezés utáni állapot thumb|150px|Átrendezés előtt Ross Honsberger kanadai matematikus összehasonlította többek között két egymásba írt négyzet adatait, és a következő összefüggéseket fedezte fel: Ha egy négyzet csúcsait egyenes vonalúan összekötjük a szemben fekvő oldalak középpontjával, akkor egy második négyzet keletkezik, melynek területe a kiindulási négyzet ötöde.Roger B. Nelsen: Beweise ohne Worte, Deutschsprachige Ausgabe herausgegeben von Nicola Oswald, Springer Spektrum, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2016, , Seite 157Ross Honsberger: Mathematical Morsels Mathematical Association of America, Washington 1978, S. 204–205
Az állítás geometriailag a következő módon szemléltethető:
A lila egybevágó derékszögű háromszögeket kivesszük a négyzetből, és hozzáillesztjük a kék trapézokhoz; így kapunk egy öt egybevágó négyzetből álló keresztet. Így a négyzet és a kereszt területe megegyezik; a piros négyzet területe mindkét alakzat ötödét teszi ki. Érintkező négyzetek thumb|hochkant|1-es ábra: Kiindulási helyzet thumb|hochkant|2-es ábra: Elforgatás utáni helyzet thumb|hochkant|3-as ábra: Kiindulási helyzet tranzverzálisokkal thumb|hochkant|4-es ábra: elforgatás utáni helyzet A következőkben olyan alakzatokkal fogunk foglalkozni, amelyekben két négyzet egy csúcsa érintkezik, és az érintkező csúcsokkal szomszédos csúcsokat az azonos oldalon összekötjük. Így az ábrát két háromszög egészíti ki. Az érintkező négyzetek tulajdonságaiból és egymáshoz viszonyított helyzetükből levezethetők a háromszögek bizonyos tulajdonságai.
1. tulajdonság: A két oldalsó háromszög területe megegyezik.
Algebrai bizonyítás: miatt teljesül, hogy . Az egyenlet mindkét oldalát megszorozva -vel következik, hogy
ami a háromszögek egyik területképlete. Tehát a háromszögek egyenlő területűek.
Geometriai bizonyítás: Fordítsuk el az óramutató járásával megegyező irányban a felső háromszöget 90°-kal az érintkező négyzetek közös csúcsa körül, akkor a zöld és a sárga háromszögek megegyeznek egy oldaluk hosszában és a hozzájuk tartozó magasságban. Emiatt területük is megegyezik. Lásd 1. és 2. ábra.
2. tulajdonság: Az egyik oldalháromszög magassága és a másik oldalháromszög oldalfelezője egy egyenesre esnek, ami átmegy a két négyzet közös csúcspontján.
Geometriai bizonyítás: Fordítsuk el a felső zöld háromszöget 90 fokkal az óramutató járása szerinti irányba a közös középpont körül; és hasonlóan, a kiindulási helyzetből elindulva forgassuk el az óramutató járásával ellentétes irányban is 90 fokkal a két négyzet érintkezési pontja körül. Ekkor a két elforgatott piros szakasz párhuzamos a sárga háromszög alapjával. A két elforgatott példány külső oldalai szintén párhuzamosak, így . Innen következik, hogy a sárga háromszög alapjához leforgatott piros szakaszok szögfelezők a zöld háromszögekben. Így a visszaforgatás után a piros szakaszok egy egyenesbe esnek. Lásd 3. és 4. ábra. Vecten-alakzat thumb|hochkant|5-ös ábra: A teljes sárga felület (a külső négyzetek területének összege) háromszor akkora, mint a teljes zöld felület (a belső négyzetek területének összege) Készítsük el a következő alakzatot: Emeljünk egy háromszög oldalaira négyzeteket az oldal teljes hosszában. Kössük össze egyenes szakaszokkal a szomszédos négyzetek csúcsait, és emeljünk négyzeteket ezekre a szakaszokra azok teljes hosszában. Így kapjuk a Vecten-alakzatot.
Állítás: A három külső négyzet területének összege háromszorosa a három belső négyzet területének összegének. Azaz .
Bizonyítás: A belső háromszög jelöléseiben az , és , illetve az , és betűzéseket a szokásos sorrendben az óramutató járásával ellentétes irányban vesszük fel. A koszinusztétel és szimmetriatulajdonságok miatt
teljesülnek a következő kapcsolatok: és . Ebből következik, hogy (1) Analóg kapjuk, hogy (2) (3) Az (1), (2) és (3) közvetlen következménye:
ami éppen a bizonyítandó állítás.Wolfgang Zeuge: Nützliche und schöne Geometrie - Eine etwas andere Einführung in die Euklidische Geometrie. Zweite korrigierte und ergänzte Auflage, Springer Spektrum, Springer-Verlag GmbH, Berlin 2021, , S. 94/95 Négyzetek körben és félkörben thumb|300px|A bizonyítás alakzatai thumb|309px|A beírt négyzetek Egy körbe beírunk egy négyzetet, és ennek a körnek a felébe is beírunk egy négyzetet. Ekkor a nagyobb négyzet területe -szerese a kisebbnek.
A bizonyítás alakzatait egységnégyzetekből álló parkettázásba ágyazzuk be, amihez a nagyobb négyzetet úgy forgatjuk el, hogy alkalmat adjon a Pitagorasz-tétel alkalmazásához. A kisebb négyzet területe . A Pitagorasz-tétel szerint a nagyobb négyzet oldalhossza , így területe , és így —szer nagyobb a területe, mint a kis négyzetnek.Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Perlen der Mathematik - 20 geometrische Figuren als Ausgangspunkte für mathematische Erkundungsreisen, Springer Spektrum, Springer-Verlag GmbH Berlin 2015, , Seiten 257, 258, 304 Négyzetek szinuszgörbén A Pitagorasz-tételben a befogókon levő négyzetek területének összege invariáns. Ezzel analóg módon bizonyos feltételek teljesülése esetén invariáns négyzetösszegek lépnek fel a szinuszfüggvénnyel kapcsolatban is.Hans Walser: Spiel mit Quadraten In: MU, Der Mathematikunterricht, Jahrgang 67, Heft 3–2021, S. 17–27, ISSN 0025-5807Invariante Flächensumme auf der Sinuskurve PDF-Skript zum Vortrag von Hans Walser, Buchautor und Lehrbeauftragter für Mathematik an mehreren Schweizer Hochschulen, auf dem 24. Forum für Begabungsförderung in Mathematik 2023, Wolfratshausen, abgerufen am 13. August 2023
Adva legyen egy szinuszgörbe, ami teljes egészében az x tengely fölött fut az egyenlettel, ahol , és a görbén egy pont, tőle balra egy pont, és tőle jobbra pedig egy pont, ahol és x koordinátái egy fél periódussal, tehát -vel eltérnek.
Ekkor a és a fölötti négyzetek összesített területe mindig , függetlenül választásától.
A bizonyítás felhasználja a Pitagorasz-tételt és az addíciós tételeket. A , , pontok koordinátái: , , Ezzel a két négyzet összesített területe a Pitagorasz-tétel kétszeri alkalmazásával, elemi átalakításokkal és az addíciós tétel felhasználásával:
Spirálok thumb|hochkant=1|2-es ábra A piros spirál alakú terület a kiidulási négyzet területének negyede thumb|hochkant=1|1-es ábra A piros vonalspirál hossza megegyezik a kiindulási négyzet fél átlóhosszának és oldalhosszának összegével Adva legyen négyzetek végtelen sorozata, ahol minden négyzetbe úgy van beírva a következő négyzet, hogy felezi oldalait. A kiindulási négyzet oldalhosszát 1-nek választjuk. Ekkor: Vonalspirál: Ha a négyzet fél oldalhossza, akkor mértani sor az képzési szabállyal, és határértéke
. Területspirál Ha nyolcada a négyzet területének, akkor mértani sorozat, melynek képzési szabálya , és határértéke . A és sorozatok geometriailag spirálként ábrázolhatók.Hans Walser: Spiralen, Schraubenlinien und spiralartige Figuren - Mathematische Spielereien in zwei und drei Dimensionen, Springer Spektrum, Springer-Verlag GmbH Berlin 2022, , Seiten 69–70 Parkettázások négyzetekkel Egyes platóni, illetve arkhimédészi parkettázások négyzetet tartalmaznak. Ezek periodikusak, forgásszimmetrikusak és eltolásszimmetrikusak, és kizárólag szabályos sokszögeket alkotnak.
A számok a képek alatt azt mutatják, hogy hány csúcsa van a benne szereplő sokszögeknek, melyek egy pont körül találkoznak. A belső szögek összege mindig 360°. Négyzetlapot tartalmazó poliéderek A kocka az egyetlen platóni test, ami négyzetlapokból áll. De vannak más arkhimédészi testek is, melyeknek vannak négyzetlapjai.
Átalánosításai Az euklideszi geometriában a négyzet a hiperkocka és a keresztpolitóp kétdimenziós speciális esete.