jobbra|200px|Rombusz
A geometriában a rombusz olyan négyszög, melynek minden oldala egyenlő hosszú. Egy alternatív definíció szerint olyan paralelogramma, melynek átlói merőlegesek egymásra.
A rombusz szemközti oldalai párhuzamosak és szemközti szögei egyenlőek, ezért a paralelogramma speciális esete, szomszédos oldalai egyenlő hosszúak, ezért a deltoid speciális esete is – így érintőnégyszög. A rombusz átlói egymásra merőlegesek és felezik egymást. A szemközti szögeket felezik az átlók.
Szimmetriatulajdonságok
A rombusz tengelyesen szimmetrikus alakzat, szimmetriatengelyei az átlói. Ezenkívül a középpontja körüli 180°-os elforgatás (azaz a középpont körüli középpontos tükrözés) is saját magába képezi, ezért szimmetriacsoportja négyelemű: tükrözés az egyik átlóra, tükrözés a másik átlóra, forgatás (180°-os a középpont körül), helybenhagyás (identitás) Ezek a leképezések nem mást alkotnak mint a diédercsoportot, ami más néven a Klein-féle csoport. Kivéve, ha a rombusz négyzet, mert akkor a szimmetriacsoport a 8 elemű diédercsoport (bekerülnek a forgatások is). A rombusz tehát ugyanazokkal a szimmetriatulajdonságokkal rendelkezik, mint a téglalap. Szimmetriacsoportja tehát azonos a téglalapéval: a D2 Klein-csoport és egymás duálisai, egyikük csúcsai a másik oldalainak felel meg. A síkbeli rombusz 5 szabadsági fokkal rendelkezik: egy az alak (azaz: az oldalak szöge), egy a nagyság, egy az állásszög és kettő a hely. Tulajdonságok A szemben fekvő oldalak párhuzamosak. A szemben fekvő szögek nagysága megegyezik. A belső szögeket az átlók felezik. Kör írható belé, ezért érintőnégyszög. A beírt kör középpontja az átlók metszéspontja.
A rombusz jellemezhető úgy is, mint: Paralelogramma, melyben a szomszédos oldalak egyenlő hosszúak Paralelogramma merőleges átlókkal Paralelogramma, melyben legalább egy belső szöget felez egy átló Deltoid páronként párhuzamos oldalakkal Négyszög egymást felező, egymásra merőleges átlókkal Négyszög 2 szimmetriatengellyel, melyek a szemközti csúcsokat kötik össze Négyszög, melyben az átlók a belső szögeket felezik
Rombusz megadásához két független adatot kell megadni, például az oldalhosszat és egy belső szöget.
Képletek
A rombuszra vonatkozó képletek Terület (az átlókkal) Terület (oldalakkal és szögekkel) Terület (oldallal és magassággal) Kerület Átló (egyik) Átló (másik) Beírt kör sugara Oldalhossz Magasság (oldallal) Magasság (átlókkal) A-nál lévő szög B-nél lévő szög Átlók Optimalizáció A rombuszok körében is felvethetők optimalizációs problémák. Keresünk egy rombuszt, ahol: adott magassággal vagy adott beírt kör sugárral a legkisebb kerületű adott magassággal vagy adott beírt kör sugárral a legnagyobb területű adott kerülettel a legnagyobb magasságú vagy a beírt kör a legnagyobb területű adott kerülettel a legnagyobb területű adott területtel a legnagyobb magasságú vagy a beírt kör a legnagyobb területű adott területtel a legkisebb kerületű
Ekkor a megoldás mindig a négyzet.
A hat optimalizáció közül kettő megegyezik egy másikkal, csak más megadott méretekkel. A magasságot és a beírt kör területét tartalmazó feladatok megoldása ugyanaz, mivel a beírt kör területe, szigorúan monoton növő, folytonos függvénye -nak.
Ha például adott magasság esetén a legkisebb területű rombuszt keressük, akkor a terület egyenlőtlenségekkel becsülhető.
Ha egy rombusz átlói és , akkor magassága , és területe . Az oldalhosszú négyzetnek ugyanez a magassága, területe pedig . A számtani és a mértani közép egyenlőtlenségéből következően , ezért minden pozitív és átlóhosszra, és egyenlőség csak akkor áll fenn, ha . Innen következik, hogy adott magasság esetén a négyzet a legkisebb területű rombusz. Több rombusz kombinációja Csillaggá csak azok a rombuszok záródnak, melyek központi szöge valamely n pozitív egészre. Ekkor uniójuk egy csúcsú csillag. Három dimenzióban ez már nem teljesül, más szögű rombuszokból is lehet piramisszerű alakzatokat építeni. Rombusz parkettázások Definíciója alapján a rombusz alkalmas síkkitöltő parkettázásra. A rombuszparkettázás a négyzetráccsal együtt a 17 lehetséges periodikus parkettázási csoport egyikét képezik.Bewiesen von Jewgraf S. Fedorow 1891, nach Ian Stewart: Fünfeckige Kacheln. In: Spektrum der Wissenschaft. Januar 2000, S. 106–108 (Abb. S. 108). Egy ilyen csempézés látható Bajorország zászlaján.
Aperiodikus parkettázás lehetséges kétféle rombusz, egyik szöge 36° és 144°, a másiké 72° és 108°.
Poliéderek rombuszokkal Bizonyos poliédereket rombuszok határolnak, például a romboédert. A rombododekaéder és a rombusztriakontaéder is Catalan-test, melyeket egybevágó rombuszok határolnak. Mindezeket a poliédereket csak rombuszok határolnak. Ezek mind forgásszimmetrikusak, azaz bizonyos tengelyek körül bizonyos szöggel elforgatva önmagukba mennek át.
Rombusz a koordinátageometriában
Eredete A rombusz szó eredete a görög „forgó tárgy” szóra vezethető vissza. Fordítás
Jegyzetek
Kategória:Négyszögek