bélyegkép|jobbra|250px|A P(x, y) ↦ x²+y² függvénnyel megadott skalármező ábrázolása A fizikában a skalártér, más néven skalármező egy-egy skalármennyiséget rendel a tér minden pontjához (ld. függvény). Ha a skalármennyiség nem valódi skalár, hanem pszeudoskalár, akkor a teret pszeudoskalártérnek nevezzük. A tér lehet a szokásos euklideszi tér (másképpen hármastér), de Minkowski-tér (a fizikában másképpen ez a négyestér) is. Például minden ponthoz hozzárendelik az ottani hőmérséklet értékét. A skalármezők a vektoranalízisben is fontosak.

Definíció Ha a φ(P) függvény a tér vagy egy térrész minden pontjához egy számot (skalárt) rendel, akkor φ(P) skalármező. Matematikai szempontból a skalármező értelmezési tartománya vektortér, vagy annak egy része, de a fizikai alkalmazásokban nem foglalkoznak ezzel.

Speciálisan n = 2-re:

Speciálisan n = 3-ra:

Fizikai példák skalártérre

A klasszikus fizikában a potenciálmezők (például gravitációs potenciál), kivéve az időtől is függő potenciálokat. További klasszikus fizikai példák a légnyomás, a hőmérséklet, vagy a sűrűség. A kvantumtérelmélet a nulla spinű részecskékhez skalárteret rendel. A standard modell Higgs-bozonját skalártér írja le.

Szintfelületek bélyegkép|jobbra|250px|A P(x, y) ↦ x²+y² függvénnyel megadott skalármező szintvonalai koncentrikus körök A szintfelületek (nívóhalmazok) azoknak a pontoknak a halmaza, ahol a skalármező értéke állandó. Síkon () értelmezett skalármező esetén inkább szintvonalakról (nívóvonalakról) beszélnek. A skalármező értelmezési tartományának minden pontján áthalad egy, és csak egy szintfelület. A szintfelületek merőlegesen metszenek minden rajtuk áthaladó felületi görbét.

Példák:

A meteorológiában az izoterma az azonos hőmérsékletű, az izobár az azonos légnyomású pontokat összekötő görbe. A mikroökonómiában egy U hasznossági függvény esetén az azonos hasznosságú jószágkosarakat leíró pontokat összekötő görbét közömbösségi görbéknek hívjuk. A térképészetben az azonos tengerszint feletti magasságú pontokat összekötő görbék a szintvonalak.

Operátorok A skalártérre a következő differenciáloperátorok alkalmazhatók: Irány menti derivált Gradiens

Integrál A skalármezőnek felületi integrálja van. Ez az integrál így számítható:

ahol φ a skalármező és S a felület. Green-formula A skalármezők a Green-formulában is megjelennek.

S egyszerű zárt felület, kifelé irányított normálvektorral. Jelölje V az S által körülzárt térrészt, és legyenek a φ, ψ vektormezők kétszer folytonosan differenciálhatók! Ekkor

ahol a Laplace-operátor.

Más típusú terek

vektormező (és axiálvektor-mező) tenzormező (és pszeudotenzor-mező)

Források

BME PPKE

Kategória:Fizikai alapfogalmak Kategória:Analízis