A Kronecker–Capelli-tétel a lineáris algebra tétele, amely arra ad választ, hogy egy adott lineáris egyenletrendszer megoldható-e. A tétel állítása szerint egy lineáris egyenletrendszer akkor és csak akkor megoldható, ha az együtthatóiból képzett mátrix rangja megegyezik a bővített mátrixának a rangjával.
Példa Tekintsük a következő egyenletrendszert:
x + y + 2z = 3 x + y + z = 1 2x + 2y + 2z = 2.
Az együtthatók mátrixa
és a bővített mátrix
Mivel mindkét mátrix rangja 2, ezért létezik megoldás. Ugyanakkor a rang kisebb, mint az ismeretlenek száma, ami 3, ezért végtelen sok megoldás van.
Ellenpéldaként tekintsük a következő rendszert:
x + y + 2z = 3 x + y + z = 1 2x + 2y + 2z = 5.
ahol az együtthatók mátrixa
és a bővített mátrix
Ebben a példában az együtthatómátrix rangja 2, míg a bővített mátrix rangja 3, ezért ennek az egyenletrendszernek nincs megoldása. A lineárisan független sorok száma eggyel nő a bővített mátrixban, ami inkonzisztenssé teszi az egyenletrendszert.
Kapcsolódó szócikkek Gauss-elimináció
Fordítás
Hivatkozások A. G. Kuros: Felsőbb algebra, Tankönyvkiadó, Budapest, 1975, 84. old.
Kategória:Lineáris algebra