200px|bélyegkép|Egy háromszög oldalai, csúcsai és szögei A geometriában a háromszög olyan sokszög, amelynek három oldala, másként fogalmazva három csúcsa van. Egy A, B és C csúcsokkal rendelkező háromszög írásban így is jelölhető: ABC△.
Osztályozás A háromszögeket csoportokba oszthatjuk oldalaik egymáshoz viszonyított hossza szerint: Az általános háromszög minden oldala különböző hosszú, és belső szögei is különbözőek. Az egyenlő szárú háromszögnek legalább két oldala azonos hosszúságú. Egyben két belső szöge is ugyanakkora (az alapon fekvő szögek).Isosceles Triangle - from Wolfram MathWorld Az egyenlő oldalú háromszög vagy szabályos háromszög minden oldala azonos hosszúságú. Egyben minden belső szöge is ugyanakkora, mégpedig 60°; szabályos sokszög.Equilateral Triangle - from Wolfram MathWorld
A háromszögek csoportosíthatók legnagyobb belső szögük mérete szerint is: A derékszögű háromszögnek van egy 90°-os belső szöge (egy derékszög). A derékszöggel szemközti oldalt átfogónak, a derékszöget közrefogó másik két oldalt befogóknak nevezzük. A tompaszögű háromszögnek van egy 90°-nál nagyobb belső szöge (egy tompaszög). A nevezetes pontok közül a súlypont és a beírt kör középpontja a háromszögön belül, a körülírt kör középpontja és a magasságpont a háromszögön kívül esik. A magasságponthoz a három csúcs közül a tompaszögnél levő csúcs van a legközelebb. A körülírt kör középpontjához az oldalak közül a leghosszabb oldal a legközelebbi oldal. A Feuerbach-kör középpontja lehet a háromszögön belül vagy kívül is. A hegyesszögű háromszögnek mindhárom szöge 90°-nál kisebb (három hegyesszög). A nevezetes pontok, mint a körülírt kör középpontja, a beírt kör középpontja, a súlypont, a magasságpont és a Feuerbach-kör középpontja a háromszögön belül található.
Van két különleges, a geometriában gyakran előforduló derékszögű háromszög. A „45-45-90 háromszögnek” az említett nagyságú szögei vannak, oldalainak aránya: . A „30-60-90 háromszög” oldalainak aránya .
Szabályos háromszög A szabályos háromszögnek vagy egyenlő oldalú háromszögnek minden oldala egyenlő és minden szöge 60°.
Területe , magassága , a beírt kör sugara , a köré írt kör sugara .
Elemi tények
A háromszögekre vonatkozó alapvető tényeket már Euklidesz lefektette Elemek c. művének 1-4. könyvében Kr. e. 300 körül. A háromszög egy sokszög, és egy 2-simplex (lásd politóp). Minden háromszög kétdimenziós.
Egy háromszögben nagyobb oldallal szemben nagyobb szög van; azaz: ha hosszúság szerinti sorrendbe állítjuk az oldalakat, pl. a≤b≤c, akkor a megfelelő (az oldalakkal szemközti) szögek is ugyanilyen nagyság szerinti sorrendben követik egymást, α≤β≤γ; és fordítva: ha a szögeket állítjuk ilyen sorrendbe, akkor a megfelelő oldalak is ugyanilyen sorrendben fogják egymást követni. Ehhez hasonló állítást emlegetnek néha olló-tétel néven: ha két háromszögben két-két oldal páronként egyenlő, és az általuk közrefogott szög kisebb az elsőben, mint a másodikban, akkor a harmadik oldal is kisebb az elsőben, mint a másodikban.
Két háromszög akkor és csak akkor hasonló, ha létezik olyan megfeleltetés, ahol a szögeik megegyeznek. Ebben az esetben megfelelő oldalaik aránya is megegyezik. Ebből következően két háromszög hasonló, hogyha létezik olyan megfeleltetés, amelyben: két megfelelő szögük megegyezik, két megfelelő oldal aránya és a közbezárt szög megegyezik, megfelelő oldalaik aránya megegyezik, két megfelelő oldal aránya, és a nagyobbikkal szemközti szög megegyezik
Derékszögű háromszögeket és a hasonlóság fogalmát felhasználva definiálhatjuk a szinusz és koszinusz trigonometriai függvényeket.
bélyegkép|A Pitagorasz-tétel Az euklideszi geometriában a háromszög belső szögeinek összege (α + β + γ) megegyezik a derékszög kétszeresével (180° vagy π radián). Ebből következik, hogy a háromszög két szögének ismeretében meg lehet határozni a harmadikat. (Nemeuklideszi geometriáknál nem áll fenn az egyenlőség: ha a geometria hiperbolikus, akkor a háromszög szögeinek összege kisebb mint 180°.)
Egy fontos tétel a Pitagorasz-tétel, ami kimondja, hogy bármely derékszögű háromszögben az átfogó négyzete megegyezik a két befogó négyzetének összegével. Ha c az átfogó, a tétel az alábbi alakban írható le:
Ami azt is jelenti, hogy a derékszögű háromszög bármelyik két oldalából meg lehet határozni a harmadik oldalt. A Pitagorasz-tétel általánosítása a koszinusztétel:
ami minden háromszögre igaz, nem csak abban az esetben, ahol γ derékszögű. A koszinusztétel lehetővé teszi a háromszög szögeinek és oldalainak meghatározását, ha ismert a háromszög három oldala, vagy két oldal és az általuk közrefogott szög.
A szinusztétel kimondja, hogy bármely háromszögben, egy oldal hosszának és az oldallal szemközti szög szinuszának a hányadosa független az oldal választásától, a hányados pedig egyenlő a köré írt kör átmérőjével:
ahol R a körülírt kör (a mindhárom csúcson áthaladó kör) sugara. A szinusztételt fel lehet használni a háromszög oldalainak meghatározására két szög és egy oldal ismeretében. Ha két oldal és egy nem meghatározott helyű szög adott, a szinusztétel akkor is használható; ebben az esetben 0, 1 vagy 2 megoldás lehetséges.
Magasság és terület A háromszög magassága a háromszög csúcsa és a szemközti oldalegyenes távolsága. A háromszög magasságvonalai egy pontban, a magasságpontban metszik egymást.
Az a, b és c oldalakhoz tartozó magasságokat ma, mb és mc szimbólumokkal jelölik, és a következőképpen számíthatóak ki: ma=b sinγ=c sinβmb=a sinγ=c sinα mc=a sinβ=b sinα
A terület valamely oldal és a hozzá tartozó magasság ismeretében számítható:
Kiszámítható csak az oldalak ismeretében is (Hérón-képlet):
, ahol a félkerület.
A szabályos háromszög esetében a képlet a következőképpen egyszerűsödik le:
Képletek Matematikai képletek az általános háromszöghöz Kerület(és félkerület)400px|Háromszög a képletekben szereplő méretekkel|class=skin-invert 400px|Hegyesszögű háromszög hozzáírt körével|class=skin-invertTerület (Lásd Hérón-képlet) Magasság az oldalhosszakból(mittels Satz des Heron)MagasságBeírt kör sugaraKöré írt kör sugara (Szinusztétellel)Hozzáírt kör sugara (arányos nyújtással a magasságok fölé)Szögfelezők hosszaSúlyvonalakBeírt kör középpontjaHozzáírt kör középpontja Köré írt kör sugaraMagasságpontSúlypont
A háromszöghöz kapcsolódó nevezetes pontok, egyenesek és körök
A háromszögnek több száz, bizonyos szempontból egyedi pontját meg lehet szerkeszteni: a külső hivatkozások között megtalálható ezek katalógusa. Ezek a pontok gyakran három, a csúcsokkal valamilyen szimmetriát mutató egyenes közös metszéspontjai: a közös metszéspont létezésének bizonyításához használható segédeszköz például a Ceva-tétel. Hasonlóan, a háromszög nevezetes egyeneseit gyakran három, valamilyen szimmetriát felhasználva megszerkesztett pont határozza meg, amelyek egy egyenesbe esnek: itt például a Menelaosz-tétel segítségével lehet bizonyítani az egyenes létezését.
frame|jobbra|A köréírt kör középpontja a háromszög oldalfelező merőlegeseinek metszéspontja.
A háromszög felező merőlegesei olyan egyenesek, amik átmennek egy oldal felezőpontján és merőlegesek az oldalra. A három felező merőleges egy pontban találkozik, a háromszög köréírt körének középpontjában. A köréírt kör sugara a fentebb említett szinusztételben lévő R, ebből adódik rá a képlet:
Tovább egyszerűsödik a formula a szabályos háromszög esetében:
A Thalész-tétel kimondja, hogy ha a háromszög köré írt kör középpontja valamelyik oldalon van rajta, akkor a szemközti szög derékszög. Ennél többet is tudunk: ha a középpont a háromszög belsejében van, a háromszög hegyesszögű, ha kívül van a háromszögön, akkor a háromszög tompaszögű.
balra|bélyegkép|A magasságpont a magasságvonalak metszéspontja A háromszög magasságvonalán a csúcspontot a szemközti oldallal derékszögben összekötő vonalat értjük. Ezt a szemközti oldalt a magasság alapjának, a magasságvonal és az alap metszéspontját a magasság talppontjának'' nevezzük. A magasságvonal hossza a csúcspont és az alap közötti távolsággal egyenlő. A három magasságvonal egy pontban metszi egymást, a háromszög magasságpontjában. A magasságpont akkor és csak akkor van a háromszög belsejében, ha a háromszög nem tompaszögű. A három csúcspont és a magasságpont olyan ortocentrikus pontnégyest alkotnak, melyben bármelyik három pontból alkotott háromszög magasságpontja éppen a negyedik pont.
frame|jobbra|A háromszög szögfelezőinek metszéspontja a beírt kör középpontja. A háromszög szögfelezője az a csúcson átmenő egyenes, ami a csúcshoz tartozó szöget kettéosztja. A szögfelező minden pontja a szög melletti oldalaktól egyenlő távolságra van. A három szögfelező egy pontban metszi egymást, a beírt kör középpontjában. A beírt kör a háromszög belsejében található kör, ami mindhárom oldalt belülről érinti. Sugarára a szabályos háromszög esetében van egyszerű képlet: . A külső szögfelezők metszéspontjaiban találhatók másik három fontos kör, a háromszög hozzáírt köreinek a középpontja. A hozzáírt körök a háromszögön kívül helyezkednek el, egy-egy oldalt, és a másik két oldal meghosszabbításait érintik. A hozzáírt körök középpontjai a beírt kör középpontjával olyan ortocentrikus pontnégyest alkotnak, melyben bármelyik három pontból alkotott háromszög magasságpontja éppen a negyedik pont. Mivel a beírt kör és a három hozzáírt kör mindegyike mindhárom oldalt érinti, ezért a négy kört néha tritangens köröknek is szokták nevezni.
frame|balra|A háromszög súlypontja.
A háromszög súlyvonala egy csúcspont és a szemközti oldal felezőpontját összekötő szakasz, ami a háromszöget két egyenlő területű részre bontja. A három súlyvonal egy pontban metszi egymást, a metszéspontot a háromszög súlypontjának nevezzük. A súlypont egyben a háromszög tömegközéppontja is: ha a háromszöget például fából legyártanánk, a súlypontot vagy az egész súlyvonalat alátámasztva egyensúlyban lenne. A súlypont 2:1 arányban osztja a súlyvonalat úgy, hogy a csúcstól fekszik távolabb.
jobbra|bélyegkép|A Feuerbach-körön a háromszög hat nevezetes pontja is megtalálható
A háromszög oldalfelező pontjai és a háromszög magasságainak talppontjai mind egy körön fekszenek, a háromszög Feuerbach-körén vagy a „kilenc pont körén”. A maradék három pontot a magasságpontot a csúcsokkal összekötő szakaszok felezőpontjai adják.
A Feuerbach-kör sugara éppen a fele a körülírt kör sugarának. Érinti a beírt kört a Feuerbach-pontban, és a három hozzáírt kört.
balra|bélyegkép|Az Euler-egyenes a súlyponton (narancs), a magasságponton (kék), a körülírt kör középpontján (zöld) és a Feuerbach-kör középpontján (vörös) áthaladó egyenes
A súlypont (sárga), magasságpont (kék), a körülírt kör középpontja (zöld) és a Feuerbach-kör középpontja (vörös pont) egy egyenesbe esnek, amit Euler-egyenesnek (vörös színnel) neveznek. A Feuerbach-kör középpontja felezi, a súlypont pedig 1:2 arányban osztja a körülírt kör középpontját és a magasságpontot összekötő szakaszt.
A beírt kör középpontja általában nincs az Euler-egyenesen.
A Feuerbach-körön fekszenek az oldalfelező pontok és a magasságok talppontjai is. A körülírt kör középpontja, a beírt kör középpontja, a súlypont és a magasságpont a háromszög Euler-egyenesén helyezkednek el. Vecten-alakzat Ha a Pitagorasz-tételben a derékszögű háromszöget általános háromszöggel helyettesítjük, akkor a Vecten-alakzathoz jutunk. Vecten francia matematikus a Lycée de Nîmes matematikatanáraként összesen 22 cikket jelentetett meg kollégájával, Joseph Diaz Gergonne-nal közösen. (Lásd 1. ábra)Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Perlen der Mathematik - 20 geometrische Figuren als Ausgangspunkte für mathematische Erkundungsreisen, Springer Spektrum, Springer-Verlag GmbH Berlin 2015, , S. 4–7Jean-Louis Ayme: La Figure de Vecten PDF-Artikel von Jean-Louis Ayme aus seiner Website, abgerufen am 24. Februar 2023
Ha a négyzetek szomszédos csúcsait összekötjük, akkor további három háromszög keletkezik, melyek területe egyenlő. (2. ábra)