A matematikában két pozitív valós szám számtani-mértani közepe a következő:
Jelölje a két számot x és y! Kiszámoljuk a számtani közepüket, ezt jelölje a1. Ezután kiszámoljuk a mértani közepüket, ezt jelölje g1:
A kapott két számnak újra kiszámoljuk a számtani és a mértani közepét, és ezt iteráljuk minden an és gn párra:
Ekkor az an és a gn sorozatok ugyanahhoz a számhoz tartanak, ami x és y számtani-mértani közepe. Jelölése M(x, y), vagy agm(x, y).
Algoritmusokhoz használják, például a számtani-mértani módszerhez.
Példa Legyen x = 24 és y = 6, keressük ezek számtani-mértani közepét. Kiszámoljuk a számtani és a mértani közepüket:
a következő lépés:
Az első öt iteráció értékei:
{| class="wikitable" |- ! n ! an ! gn |- | 0 | 24 | 6 |- | 1 | 15 | 12 |- | 2 | 13,5 | 13,416407864998738178455042… |- | 3 | 13,458203932499369089227521… | 13,458139030990984877207090… |- | 4 | 13,458171481745176983217305… | 13,458171481706053858316334… |- | 5 | 13,458171481725615420766820… | 13,458171481725615420766806…
Az egyezés hossza minden lépésben a duplájára nő. A számtani-mértani közép e két sorozat közös határértéke, ami megközelítően 13.4581714817256154207668131569743992430538388544.agm(24, 6) at WolframAlpha
Tulajdonságai Két pozitív szám számtani közepe sosem kisebb, mint mértani közepük. Ezért gn növekvő, an csökkenő sorozat, és gn ≤ M(x, y) ≤ an. Az egyenlőtlenség szigorú, ha x ≠ y. Tehát a számtani-mértani közép a mértani és a számtani közepek között van.
Ha r ≥ 0, akkor M(rx,ry) r M(x,y).
Reprezentálható integrál alakban:
ahol K(k) teljes elsőfajú elliptikus integrál:
A definíció szerinti számítás elég gyorsan konvergál ahhoz, hogy a számtani-mértani sorozatot elliptikus integrálok számításához használják. A mérnöki tudományokban elliptikus szűrőket terveznek vele. A másodfajú elliptikus integrálok kiszámításához a módosított számtani-mértani közép használható.
A számtani-mértani közép módszerével a logaritmus is jól közelíthető.
Kapcsolódó fogalmak Az 1 és a négyzetgyök 2 számtani-mértani közepének reciproka a Gauss-konstans:
A mértani-harmonikus közép hasonlóan számítható, a mértani és a harmonikus középből képzett sorozatokkal. Hasonolóan a számtani-harmonikus közép is definiálható, de megegyezik a mértani középpel. A létezés bizonyítása A számtani-mértani közepek között teljesül az alábbi egyenlőtlenség:
így
ennélfogva a gn sorozat nemcsökkenő.
Továbbá könnyen látható, hogy felülről korlátos, mivel x és y közül a nagyobb jó felső korlát, ami következik abból, hogy a számtani és a mértani közép is a kettő között van. Emiatt a monoton konvergencia tétele szerint konvergens, tehát létezik határértéke, amit jelöljünk g-vel:
Azt is láthatjuk, hogy:
és így
Az integrálos alak bizonyítása Ez a bizonyítás Gausstól származik. Legyen
Helyettesítjük az integrációs változót -vel, ahol
ezzel
Így
Ez utóbbi egyenlőség abból adódik, hogy .
Amivel
Története Az első számtani-mértani közepet használó algoritmust Lagrange alkalmazta. Tulajdonságait Gauss elemezte. first published in L'Enseignement Mathématique, t. 30 (1984), p. 275-330
Jegyzetek
Források
Jonathan Borwein, Peter Borwein, Pi and the AGM. A study in analytic number theory and computational complexity. Reprint of the 1987 original. Canadian Mathematical Society Series of Monographs and Advanced Texts, 4. A Wiley-Interscience Publication. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1998. xvi+414 pp. Zoltán Daróczy, Zsolt Páles, Gauss-composition of means and the solution of the Matkowski–Suto problem. Publ. Math. Debrecen 61/1-2 (2002), 157–218.
Fordítás
Kategória:Középértékek