A matematikában a von Mangoldt-függvény egy Hans von Mangoldtról elnevezett számelméleti függvény. Példa arra, hogy egy fontos számelméleti függvény nem szükségképpen multiplikatív vagy additív. Definíció A Λ(n)-nel jelölt von Mangoldt-függvény definíciója:
Λ(n) értékei az első kilenc pozitív egészre
ami az sorozathoz kapcsolódik.
Összegfüggvénye a ψ(x) Csebisev-függvény, aminek definíciója:
A ψ(x) függvényre von Mangoldt explicit képletet is meghatározott, amiben a Riemann-féle zéta-függvény nem triviális gyökeinek összege is szerepel. EZ a prímszámtétel első bizonyításának fontos része volt. Tulajdonságok A von Mangoldt-függvény megfelel a következő azonosságnak:Apostol (1976) p.32Tenenbaum (1995) p.30
Az összeg befutja azokat a pozitív egész d-ket, amelyek osztói n-nek. Ez bizonyítható a számelmélet alaptételével, mivel azok az értékek, amelyeket a függvény nem prímhatványokra vesz fel, csak a nulla. Legyen például n 12 22 × 3. Ekkor
A Möbius-inverzióval kapjuk, hogyApostol (1976) p.33
Dirichlet-sor A von Mangoldt-függvény fontos szerepet játszik a Dirichlet-sorok elméletében, és a Riemann-féle zéta-függvényhez is kapcsolódik. Speciálisan,
A logaritmikus derivált
Ezek a Dirichlet-sorokkal való kapcsolat speciális esetei. Ha
egy f (n) teljesen multiplikatív függvény, és a sor konvergál a Re(s) > σ0 helyekre, akkor
konvergens minden Re(s) > σ0-ra.
Csebisev-függvény A ψ(x) második Csebisev-függvény a von Mangoldt-függvény összegfüggvénye:Apostol (1976) p.246
A Csebisev-függvény Mellin-transzformációja a Perron-formula felhasználásával:
ami teljesül, ha Re(s) > 1. Exponenciális sorok Fájl:Mangoldt-series.svg
Hardy és Littlewood vizsgálta ennek a sornak az y → 0+ határértékét
A Riemann-hipotézis teljesülésének esetére belátták, hogy
Azt is megmutatták, hogy a sor oszcillál, mégpedig egyre erősebben. Sőt, létezik egy K > 0 úgy, hogy végtelen gyakran
A mellékelt grafikon mutatja, hogy ez az első valahány számra ez nem nyilvánvaló: az oszcilláció egészen az első 100 millió tag összegzéséig nem látható tisztán, és csak akkor látható, ha y < 10−5. Riesz-közép A von Mangoldt-függvény Riesz-közepe
ahol λ és δ a Riesz-közép paraméterei, és c > 1. A ρ fölötti összeg a Riemann-féle zéta-függvény gyökei fölötti összeg, és
konvergens, ha λ > 1.
Approximáció a Riemann-féle zéta-függvény gyökeivel
A Riemann-féle zéta-függvény gyökei fölötti összeg:
ahol ρ(i) az i-edik zéta-gyök, a csúcsok a prímeknél, ami numerikus számításokkal is bizonyítható. Az összeg nem megy el addig, hogy kiadja a von Mangoldt-függvény értékeit. Page 346
A von Mangoldt-függvény Fourier-transzformációja által adott spektrumban a csúcsok a Riemann-féle zéta-függvény gyökeinek képzetes részeinél vannak. Ezt néha dualitásnak nevezik.
frame|A von Mangoldt-függvény Fourier-transzformáltja Jegyzetek
Források * Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag,
Kategória:Számelméleti függvények