A matematikában a Csebisev-függvény a Csebisevről elnevezett két függvény egyike. Az első Csebisev-függvény a ϑ(x) vagy θ(x) definíciója
ahol az összegzés az x-nél nem nagyobb prímekre megy.
A második Csebisev-függvény definíciója hasonló, de az összegzés az összes x-nél nem nagyobb prímhatványt magában foglalja:
ahol a von Mangoldt-függvény. A Csebisev-függvények, különösen a ψ(x) második Csebisev-függvény gyakran hasznosnak bizonyulnak a prímekhez kapcsolódó problémákban, mivel egyszerűbb velük számolni, mint a prímszámláló π(x) függvénnyel.
Mindkettő aszimptotikus x-hez, ami a prímszámtétellel ekvivalens.
Kapcsolatuk A második Csebisev-függvény kifejezhető, mint
ahol k az az egész, amire pk ≤ x, és x < pk+1. A k értékek sorozata . A következő egy még közvetlenebb kapcsolatot fejez ki:
Jegyezzük meg, hogy ez utóbbi összegben véges sok tag kivételével mindegyik nulla:
A második Csebisev-függvény az 1-től n-ig terjedő egészek legkisebb közös többszörösének logaritmusa:
Az n függvényében a sorozat az sorozat.
Aszimptotika és korlátok A következő képletekben a pk a k-adik pozitív prímet jelöli. A Csebisev-függvényre a következő korlátok ismertek:
-re
k ≥ 198-ra,
minden x ≥ 10,544,111-re,
minden x ≥ exp(22)-re,
minden -re.
Továbbá, a Riemann-hipotézis teljesülése esetén
minden -ra.
Mindkét függvényre ismertek felső korlátok is, így
minden -ra. Az 1,03883 magyarázatát az adja meg.
Egzakt képletek 1895-ben Hans Carl Friedrich von Mangoldt explicit kifejezte a függvényt a Riemann-féle zéta-függvény nem triviális gyökeinek összegeként:
ahol ζ'(0)/ζ(0) értéke log(2π), befutja a zéta-függvény nem triviális gyökeit, és ψ0 éppen a ψ, kivéve, hogy átugorja annak szakadási helyeit a prímhatványoknál, és ezeken a helyeken a két határérték számtani közepét veszi fel:
A logaritmus Taylor-sora szerint az utolsó tag tekinthető, mint összege a Riemann-féle zéta-függvény triviális gyökei, a negatív egészek fölött:
Hasonlóan, az első tag x = x1/1 megfelel a Riemann-féle zéta-függvény elsőrendű pólusának az 1 helyen. Mivel nem gyök, hanem pólus, azért negatív előjellel szerepel az összegben.
Tulajdonságok Erhard Schmidt egy tétele szerint egy rögzített pozitív egész K-ra végtelen sok olyan x létezik, amire
és végtelen sok x, hogy
A kis ordo jelöléssel
Hardy és Littlewood eredménye erősebb:
Kapcsolat a primoriálokkal Az első Csebisev-függvény x primoriáljának logaritmusa, amit x# jelöl:
Ez bizonyítja, hogy az x# primoriál aszimptotikusan egyenlő exp((1+o(1))x)-szel, ahol "o" a kis ordo jelölés, és a prímszámtétellel együtt bizonyítja pn# aszimptotikus viselkedését.
Kapcsolat a prímszámláló függvénnyel A Csebisev-függvények kapcsolatba hozhatók a prímszámláló függvénnyel. Legyen
Ekkor
Az áttérés -ről -reó a következő egyenlettel lehetséges:
Mivel , azért a legutóbbi reláció írható, mint
A Riemann-hipotézis A Riemann-hipotézis szerint a Riemann-féle zéta-függvény nem triviális gyökeinek valós része 1/2. Ekkor , és megmutatható, hogy
A fentiek szerint ebből következik, hogy
Alain Connes és társai úgy próbálták igazolni a hipotézist, hogy deriválták a von Mangoldt-formulát x szerint, ahol x = exp(u). A Hamilton-operátor exponenciálisának nyom képletét véve
ahol a trigonometrikus összeg tekinthető az operátor nyomának, ami csak akkor igaz, ha
A H = T + V hatványának félklasszikus megközelítésével:
ahol Z(u) → 0 as u → ∞. A egy megoldása ennek a nemlineáris integrálegyenletnek, a
hatvány inverzének a kiszámításával.
Simító függvény A simító függvény definíciója
Belátható, hogy
Variációszámítás A Csebisev-függvény az x = exp(t) helyen minimalizálja az
funkcionált, így
c > 0 -ra.
Jegyzetek
Források Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag,
Riemann's Explicit Formula
Fordítás
Kategória:Számelmélet