A számelméletben a Liouville-függvény egy fontos számelméleti függvény, amit Joseph Liouville-ről neveztek el. Ha n pozitív egész, akkor λ(n) definíciója:
ahol a nagy omega függvény n prímosztóinak száma multiplicitással számolva..
λ teljesen multiplikatív, mivel Ω(n) teljesen additív, vagyis Ω(ab) = Ω(a) + Ω(b). Az egynek nincsenek prímosztói, ezért Ω(1) = 0, így λ(1) = 1. A Liouville-függvény eleget tesz a következő azonosságnak:
A Liouville-függvény Dirichlet-inverze a Möbius-függvény abszolútértéke. Sorok
A Liouville-függvény Dirichlet-sora kapcsolódik a Riemann-féle zéta-függvényhez:
Lambert-sora:
ahol a Jacobi-féle thetafüggvény. Megcáfolt sejtések
A Pólya-sejtés Pólya Györgytől származik 1919-ből. Legyen
A sejtés azt állítja, hogy minden n > 1. Ezt azóta megcáfolták. A legkisebb ellenpélda n = 906150257, amit Minoru Tanaka fedezett fel 1980-ban. Azóta megmutatták, hogy L(n) > 0,0618672√n végtelen sok n-re,P. Borwein, R. Ferguson, and M. J. Mossinghoff, Sign Changes in Sums of the Liouville Function, Mathematics of Computation 77 (2008), no. 263, 1681–1694. míg L(n) < −1,3892783√n végtelen sok pozitív n-re.
A kapcsolódó összeg
Sokáig nyitott kérdés volt, hogy T(n) ≥ 0 egy elég nagy n ≥ n0-ra. Ennek felvetését sokszor Turán Pálnak tulajdonítják, tévesen. Ezt Haselgrove cáfolta meg 1958-ban, megmutatva, hogy T(n) végtelen sokszor negatív. Az ellenkező eredmény a Riemann-sejtést is bebizonyította, ahogy Turán Pál levezette.
Jegyzetek
Források
Fordítás
Kategória:Számelmélet