jobbra|bélyegkép|300px|A kétdimenziós Mandelbrot-halmaz a komplex számsíkbanMandelbrot 3D fraktál forgatása (video) thumb|200px|right|A Mandelbrot-halmaz korai, kis grafikus teljesítményű rendszeren készült számítógépes ábrázolása Benoît Mandelbrot a katedránál, a vetítővásznon a róla elnevezett Mandelbrot-halmaz|thumb|300px right|250px|thumb|A Mandelbrot-halmaz mint a Julia-halmazok "térképe"
A matematikában a Mandelbrot-halmaz azon c komplex számokból áll (a „komplex számsík” azon pontjainak mértani helye, halmaza), melyekre az alábbi (komplex szám értékű) rekurzív sorozat:
nem tart végtelenbe, azaz abszolút értékben (hosszára nézve) korlátos.
A Mandelbrot-halmazt a komplex számsíkon ábrázolva, egy nevezetes (és hasonnevű) fraktálalakzat adódik.
Tehát, az M Mandelbrot-halmaz a komplex számoknak az az részhalmaza, melyre .
A halmaz definíciója ekvivalens a következővel:G. Levin: Disconnected Julia set and rotation sets (pdf, v. 2007. augusztus 2. 15:40); Annales scientifiques de l'ENS, 1996, s. 4. t. 29., 22. o.
M azon komplex számok halmaza, melyekre az c-vel paraméterezett függvényrendszer elemeihez tartozó Julia-halmaz összefüggő. A Mandelbrot-halmaz grafikus megjelenítése úgy történik, hogy az ilyen tulajdonságú c pontokat a komplex számsíkon ábrázolják.
A Mandelbrot-halmazt Benoît Mandelbrot fedezte fel, és Adrien Douady és John Hamal Hubbard nevezte el róla 1982-ben ().
A Mandelbrot-halmaz körül a róla készült számítógépes grafikák nyomán a kilencvenes évektől kezdve, mondhatni, szakmai - de a szakmán túl is mutató - , közéleti és popkulturális nemzetközi kultusz alakult ki, köteteket írtak róla és a tanulmányozásából kialakult ún. fraktál-geometriáról, tudományos cikkek és egyetemi (pl. informatikai) kézikönyvek, tudományos ismeretterjesztő művek kedvelt példaalakzata lett, amatőr és profi művészeti alkotások egész sora foglalkozott vele, és egy új művészeti paradigma, a fraktálművészet megalakulása is elsősorban a felfedezésének köszönhető.
Jellemzői
thumb|right|200px|A Mandelbrot-halmaz nagyításának egy szakasza thumb|right|200px thumb|right|200px|Julia-halmaz Mandelbroton belüli c-vel thumb|right|200px|Julia-halmaz Mandelbroton kívüli c-vel thumb|right|200px|3 dimenziós Julia-halmaz
A komplex számsík mint leíró eszköz
A Mandelbrot-halmaz egy síkbeli alakzat, amelyet egy alapvetően nagyon egyszerű algebrai összefüggés bonyolultabb (végtelennel kapcsolatos, analitikus fogalmakat, határértékszámítást igénylő) elemzése ad meg, rajzol ki. Ezeknek az összefüggéseknek a még legegyszerűbb (bár nem az egyetlen lehetséges) megközelítési módja a komplex számok felhasználásával történhet. A Mandelbrot-halmaz a komplex számsíkon ábrázolható alakzat, amely számsík geometriailag semmiben sem különbözik a jól ismert („euklideszi”) síktól, csak a pontok számokkal való leírása más.
Az euklideszi sík minden pontja megadható egy valós számokból álló számpárral, a derékszögű v. Descartes-koordinátáikkal: az (a,b) számpár egy pontot ír le a síkon. Ugyanez a pont leírható (egyértelműen megadható) az a+bi komplex számmal is, ahol a és b továbbra is a pont derékszögű koordinátái, az i nem valós szám viszont úgy van definiálva, miszerint i·i = i² = -1, vagyis a -1 négyzetgyöke. Geometriailag az a valós szám a pontnak a vízszintes (v. valós) tengelyen mért koordinátája, a b a függőlegesen felmért (vagy képzetes) koordináta, az i szám pedig a függőlegesen felmért - pozitív irányba mutató, vagyis iránnyal is rendelkező - hosszegység (egységvektor). Az összeadás és szorzás a valós számoknál megszokott szabályok figyelembevételével történik, az egyetlen újdonság, hogy az i négyzete mindig -1. Geometriailag - amint az meglehetősen elemi eszközökkel bizonyítható - az összeadás vektorösszeadás, a szorzás pedig forgatva nyújtás (a pontok origótól való távolságai összeszorzódnak, a vízszintes tengellyel bezárt irányszögek pedig összeadódnak). Az a+bi nagysága (abszolút értéke) egyenlő az a²+b² négyzetgyökével, geometriailag az origó és a komplex számmal ábrázolt pont távolsága.
Az iteráció szerepe és a halmazba eső pontok megrajzolása
Az alapképletben (z → z² + c) a z és c komplex számok. Ez nem az alakzat algebrai egyenlete, hanem iterációval (az eredménynek a képlet változójába való, a végtelenségig ismételt behelyettesítésével) alkot Mandelbrot-halmazt, amikor a z² tagot mindig az előző művelet eredményeként kapott z értékével számítjuk újra. Ezáltal minden adott kezdeti c érték esetén a lépésenként kapott z1, z2, z3, ... stb. értékek (c; c²+c, (c²+c)²+c, [(c²+c)²+c]2+c ... stb. ) a komplex síkon egymástól mindig kissé eltérő helyet foglalnak el, egy pontsorozatot alkotnak. Ez még mindig nem a Mandelbrot-halmaz. Viszont minden egyes kiinduló c esetében megnézhető, hogy a pontsorozat hogyan viselkedik. (Az iterációval kapott számsorozatok többféleképpen viselkedhetnek: 1). Egy adott értékhez tartanak (konvergencia); 2). Két, vagy több érték között ingadoznak határértékben (határciklus); 3). Korlátosak maradnak, de elemeik soha nem ismétlődnek (kaotikus dinamikai rendszer); 4). Végtelenbe tartanak
Azok a c komplex számok, amelyek az első három kategória valamelyikébe tartoznak, a Mandelbrot-halmaz pontjai.
Ha azt tapasztaljuk, hogy a pontok origótól való távolsága minden határon túl növelhető (az n iterációszám növekedtével a pontsorozat „igyekszik lemászni a térképről”), akkor azt mondjuk, a pontsorozat a végtelenbe tart (pontatlanul fogalmazva, néha azt is mondják, hogy a c pont tart a végtelenbe). Ez esetben az eredeti kiindulópontot (c) fehérre, vagy egy előre megadott színre színezzük, ami annak elismerését jelenti, hogy nem tartozik a Mandelbrot-halmazhoz. Minden más esetben (ld. lentebb) feketére, vagy egy másik megadott színre színezzük, ami azt jelenti, a Mandelbrot-halmazhoz tartozik.
Látható, hogy a Mandelbrot-halmaz egy meglehetősen bonyolultan definiált mértani hely. Azon pontok tartoznak hozzá, melyek teljesítenek egy legkönnyebben komplex számokkal megfogalmazható bonyolult határérték-számítási feltételt v. tulajdonságot.
Geometriai és topológiai tulajdonságai
A Mandelbrot-halmaz tükörszimmetrikus a valós tengelyre. Összefüggő, és telt, vagyis nem tartalmaz szigeteket, vagy lyukakat. Azonban nem ismert, hogy egyszeresen összefüggő, avagy útösszefüggő-e. Önhasonló, de nem pontosan; nincs két részstruktúrája, ami matematikai értelemben is hasonló lenne. Sok perempont környezete azonban határértékben periodikus mintázatot mutat.
Mivel a Mandelbrot-halmaz körlapokat és kardioidlapot tartalmaz, azaz kétdimenziós síkidomokat is magába foglal, ugyanakkor minden pontja egy síkba esik, hagyományos dimenziója és fraktáldimenziója is kettő. Eszerint, fura és picit ironikus módon, a fraktálok tanulmányozását motiváló legikonikusabb alakzat a legtipikusabb fraktáldefiníció szerint (fraktál = törtdimenziós alakzat), nem is számít fraktálnak. Habár ezt a fraktál-definíciót végül maga Mandelbrot is elvetette, aki eredetileg javasolta.
Fraktálnak tekinthető a Mandelbrot-halmaz határvonala, minthogy végtelen hosszú, habár Sisikura Micuhiro szerint szintén kétdimenziós, ezért a dobozszámlálási dimenziója is kettő. Nem ismert viszont a határvonal területe, mint ahogy a teljes Mandelbrot-halmaz területe sem. Numerikus becslések szerint a Mandelbrot-halmaz területe 1,506 591 77; egyes nem bizonyított meggondolások szerint a pontos terület .Pixel Counting, Mu-Ency at MROB
Fraktálszerű tulajdonságai
A Mandelbrot-halmaz peremén megtalálhatók a Mandelbrot-halmaz hozzávetőleges, kicsinyített másai; ezek az úgynevezett szatelliták. Minden képkivágás, ami egyaránt tartalmaz pontokat a Mandelbrot-halmazból és a Mandelbrot-halmazon kívülről, végtelen sok ilyen szatellitát tartalmaz.
Mivel minden szatellitát további szatelliták öveznek, ezért mindig van egy hely, ahol tetszőleges struktúrák tetszőleges sorrendben tartalmazzák egymást. Ennek észleléséhez azonban nagyon nagy nagyítás kell.
Kapcsolata a Julia-halmazokkal Amennyiben az alapképletben a z a változó érték, akkor Mandelbrot-halmazt kapunk, ha a c, akkor Julia-halmazt. Egy adott Julia-halmaz belső szerkezete a végtelenségig ugyanaz, de a különböző Julia-halmazok nagy sokféleséget vonultatnak fel.
A Julia- és Mandelbrot-halmazok összefüggnek egymással. Ha a Mandelbrot-halmaz belsejéből választunk c értéket, akkor a hozzá tartozó Julia-halmaz összefüggő lesz, ellenkező esetben viszont diffúz halmazt kapunk. Ha a c értéke pontosan a Mandelbrot-halmaz határára esik, akkor a hozzá tartozó Julia-halmaz egy bokorszerű fraktális vonal, aminek területe nulla. Így a Mandelbrot-halmaz az összes Julia-halmaz sokféleségét magában foglalja.
A Mandelbrot- és Julia-halmazok határvonala fraktál (Hausdorff-dimenziójuk pontos értéke egyelőre nem ismert), melyet bármeddig nagyítunk, sosem érünk el egy maximális nagyítást. Ez alól csak két Julia-halmaz kivétel, mégpedig a c=0 értékhez kör, a c=-2 értékhez egyenes szakasz tartozik.
A színes képek előállítására többféle módszer létezik, a színek leggyakrabban azt jelzik, egy adott pontra (pixelre) ismételten (iteráltan) alkalmazva a generáló képletet, milyen gyorsan (hányadik lépésben) derül ki egy pontról, hogy nem tartozik a Mandelbrot-halmazhoz. A színskála maga és a színes pontok azonban nem tartoznak lényegileg a matematikai leíráshoz, inkább csak szemléltető, segítő, sőt sok esetben (a színező eljárástól is függően) csak esztétikai szerepük van.
Viselkedés és struktúra
A konvergencia éppen a kardioid lap belső pontjaira, és annak megszámlálható sok határpontjára teljesül. A periodikus határciklus a kör alakú struktúrák, és a szatelliták kardioidjainak belső pontjaira, és azok megszámlálható sok határpontjára igaz. Egy fontos sejtés szerint a Mandelbrot-halmaz minden belső pontjának van határciklusa. A sorozatok csak a megszámlálható sok Misiurewicz-Thurston-pontban periodikusak. Ilyenek például a hosszú vonalas képződmények (antennák) csúcsai, és az elágazási pontok.
A Mandelbrot-halmaz többi nem megszámlálható pontjából képzett sorozatok többféleképpen viselkedhetnek, különféle kaotikus dinamikai rendszereket alkothatnak. Épp ezért élénk kutatás tárgyai.
Periodikus viselkedés Kör alakú struktúrák thumb|Mandelbrot-halmaz a határciklusok hosszával A Mandelbrot-halmaz körlapjainak és a szatelliták kardiodlapjainak a határciklusai az adott lapra jellemző hosszúságúak. Ezeknek a lapoknak a helye egyértelműen megadja a határciklusok hosszát. Minden körlap érintkezik egy alaptesttel, egy nagyobb körlappal, vagy kardioiddal.
Egy lap határciklusainak hossza megegyezik az ugyanazt az alaptestet érintő két nála nagyobb szomszédos lap határciklusainak hosszának összegével. Ha csak kisebb lapok vannak, akkor az alaptest járul hozzá az összeghez.
Egyszerű következmények: Minél kisebb egy lap, annál hosszabbak a határciklusai. Egy alaptesttel érintkező legnagyobb lap határciklusa éppen az alaptest határciklusának kétszerese. Egy szatellita egy lapjának határciklushosszának periódushossza a szatellita kardioidjának és a fő kardioid megfelelő lapjának a határciklusának a szorzata.
Vonzó ciklusok Ha egy sorozatban van egy c elem, amire zn=z0=0, akkor a sorozat az elejétől kezdve ciklikus, és periódushossza n. Mivel zn az iteráció n-szeri alkalmazásával adódik, és az iteráció minden lépésében négyzetre emelés történik, azért kifejezhető c egy 2n-1-edfokú polinomjaként. Így ennek a polinomnak a gyökei n hosszú periódust adnak. Megmutatható, hogy ha egy iterált számsorozat egy tagja elég közel van, akkor az a számsorozat ehhez a határciklushoz tart. Egy ilyen határciklust attraktornak is neveznek.
Következik, hogy az attraktort reprezentáló c értékek egy környezetében minden számsorozat az attraktorhoz tart, ami éppen egy n hosszú stabil ciklus. Minden kör- vagy kardioidlap éppen ilyen ciklus. Taszító ciklusok