A hatványközepek közötti egyenlőtlenség azt állítja, hogy ha nemnegatív valós számok, akkor esetén p-edik hatványközepük legfeljebb akkora, mint a q-adik, azaz
ahol -ra
Egyenlőség csak akkor áll fenn, ha .
A értékre is definiálhatjuk a mennyiséget, ugyanis
a mértani közép. Az egyenlőtlenségből határátmenettel adódik , azaz a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség.
Bizonyítás Alább általánosabban, súlyozott hatványközepekre látjuk be a tételt.
Legyenek nemnegatív valósok, és pozitív súlyok, melyekre , valamint , hogy .
Ekkor az szigorú konvexitása miatt a Jensen-egyenlőtlenség szerint , ahol az egyenlőség akkor, és csak akkor teljesül, ha ;
-adik gyököt vonva, kihasználva a gyökvonás szigorú monotonitását , ahol az egyenlőség akkor, és csak akkor teljesül, ha .
Ha , a bizonyítás igen hasonlóan megy.
Ha , akkor az előzőleg belátott monotonitásokat felhasználva, és figyelembe véve, hogy létezik, adódik, hogy , ahonnan .
Kiterjesztés függvény intervallumon vett hatványközepére Ha függvény intervallumon Riemann-integrálható, akkor
ahonnan, ha az előzőek szerint:
Kategória:Középértékek Kategória:Egyenlőtlenségek Kategória:Valós analízis