A számelmélet területén Achilles-szám olyan pozitív egész szám, ami négyzetteljes szám, de nem teljes hatvány. Egy pozitív egész akkor négyzetteljes, ha minden prímtényezőjére igaz, hogy is osztója. Más szavakkal, minden prímosztó legalább négyzeten szerepel a prímtényezős felbontásban. Minden Achilles-szám négyzetteljes; azonban nem minden négyzetteljes szám Achilles-szám: csak azok, melyek nem írhatók fel alakban, ahol és pozitív, 1-nél nagyobb egész számok.
Az Achilles-számokat Akhilleuszról, a trójai háború fontos szereplőjéről nevezték el, aki szintén „powerful” volt (ami egyszerre jelent négyzetteljest és hatalmast), de tökéletlen (ti. nem teljes hatvány).
Az Achilles-számok sorozata Egy szám négyzetteljes, ha . Ha ráadásul (ahol a gcd a legnagyobb közös osztót jelenti), a szám egyben Achilles-szám is.
Az első néhány Achilles-szám, egészen 5000-ig: 72, 108, 200, 288, 392, 432, 500, 648, 675, 800, 864, 968, 972, 1125, 1152, 1323, 1352, 1372, 1568, 1800, 1944, 2000, 2312, 2592, 2700, 2888, 3087, 3200, 3267, 3456, 3528, 3872, 3888, 4000, 4232, 4500, 4563, 4608, 5000 .
A legkisebb, egymástól 1 távolságra lévő Achilles-számpáros:Carlos Rivera, The Prime Puzzles and Problem Connection, Problem 53
5425069447 = 73 × 412 × 972 5425069448 = 23 × 260412
Példák A 108 négyzetteljes szám. Prímtényezős felbontása: 22 · 33, prímtényezői tehát a 2 és a 3. Mind a 22 = 4 és a 32 = 9 osztói a 108-nak. A 108 azonban nem fejezhető ki alakban, ahol és 1-nél nagyobb egész számok, tehát a 108 Achilles-szám.
A 360 nem Achilles-szám, mert nem négyzetteljes. Egyik prímosztója az 5, de a 360 nem osztható 52 = 25-tel.
Végül, a 784 sem Achilles-szám. Négyzetteljes szám, mivel 2 és 7 prímosztóinak a négyzete, 22 = 4 és 72 = 49 is osztói. Azonban a 784 teljes hatvány:
Ezért a 784 sem lehet Achilles-szám.
Jegyzetek
Kategória:Nevezetes számsorozatok