A számelméletben a többszörösen tökéletes szám (multiply perfect number, multiperfect number vagy pluperfect number) a tökéletes szám fogalmának általánosítása.
Legyen k és n pozitív egész szám. Az n szám akkor és csak akkor k-tökéletes (vagy k-szorosan tökéletes), ha pozitív osztóinak összege, tehát az osztóösszeg σ(n) = k · n; egy szám tehát akkor tökéletes, ha 2-tökéletes. A k-tökéletes számokat (különösen k>2-re) többszörösen tökéletes számoknak nevezzük. 2014-es adat szerint k=1 és k=11 között ismerünk k-tökéletes számokat.
Beláthatók a következők:
Ha p prímszám, n p-tökéletes és p nem osztója n-nek, akkor pn (p+1)-tökéletes. Ebből az is következik, hogy n akkor és csak akkor olyan 3-tökéletes szám, ami 2-vel osztható, de 4-gyel nem, ha n/2 páratlan tökéletes szám – amilyenből egyetlen sem ismert. Ha 3n 4k-tökéletes és 3 nem osztója n-nek, akkor n 3k-tökéletes.
A legkisebb k-tökéletes számok A következő táblázat bemutatja a legkisebb k-tökéletes számokat k ≤ 11 -ig :
k A legkisebb k-tökéletes szám Megtalálója Vélhetően mindet megtalálták? Becsült számuk 1 1 ókori igen, bizonyítottan 1 2 6 = 21 · 31 ókori nem, végtelen sok van ∞ 3 120 = 23 · 31 · 51 ókori igen 6 4 30240 = 25 · 33 · 51 · 71 René Descartes, 1638 körül igen 36 5 14182439040 = 27 · 34 · 51 · 71 · 112 · 171 · 191 René Descartes, 1638 körül igen 65 6 154345556085770649600 = 215 · 35 · 52 · 72 · 111 · 131 · 171 · 191 · 311 · 431 · 2571 Robert Daniel Carmichael, 1907 igen 245 7 141310897947438348259849402738485523264343544818565120000 = 232 · 311 · 54 · 75 · 112 · 132 · 171 · 191 · 231 · 311 · 371 · 431 · 611 · 711 · 731 · 891 · 1811 · 21411 · 5994791 TE Mason, 1911 csaknem biztosan ~515 8 ≈2,34111439263306338... · 10161 Paul Poulet, 1929Flammenkamp talán igen ~1140 9 ≈7,9842491755534198... · 10465 Fred Helenius nem ~2200 10 ≈2,86879876441793479... · 10923 Ron Sorli nem ~4500 11 ≈2,51850413483992918... · 101906 George Woltman nem ~
Például a 120 3-tökéletes, mert 120 osztóinak összege 1+2+3+4+5+6+8+10+12+15+20+24+30+40+60+120 = 360 = 3 · 120.
A k-tökéletes számok sorozata Az alábbi táblázat bemutatja a k-tökéletes számok sorozatait k=6-ig. k Az első néhány k-szorosan tökéletes szám OEIS 2 6, 28, 496, 8128, 33550336, 8589869056, 137438691328, ... A000396 3 120, 672, 523776, 459818240, 1476304896, 51001180160, ... A005820 4 30240, 32760, 2178540, 23569920, 45532800, 142990848, ... A027687 5 14182439040, 31998395520, 518666803200, 13661860101120, ... A046060 6 154345556085770649600, 9186050031556349952000, 680489641226538823680000, ... A046061
Tulajdonságok Az X-nél kisebb többszörösen tökéletes számok darabszáma minden pozitív ε-ra.Sándor et al (2006) p.105 Az egyetlen ismert többszörösen tökéletes szám az 1.
A k egyes értékei Tökéletes számok
Az olyan n számok, amikre σ(n) = 2n, tökéletes számok.
3-tökéletes számok Az olyan n számok, amikre σ(n) = 3n, 3-tökéletesek (triperfect). Egy páratlan 3-tökéletes számnak legalább 1070-nek kellene lennie, legalább 12 különböző prímtényezővel, melyek legnagyobbika meghaladja a 105-t.Sandor et al (2006) pp.108–109
6-tökéletes számok Az ismert értékei itt találhatók. Valószínűleg a számuk véges, és a lista teljes.
Jegyzetek
További információk The Multiply Perfect Numbers page The Prime Glossary: Multiply perfect numbers
Kategória:Nevezetes számsorozatok