A diszkrét geometria területén az Erdős-féle eltérő távolságok problémája az az állítás, mi szerint egy síkban elhelyezkedő különböző pont között legalább különböző távolság létezik. A problémát Erdős Pál vetette fel 1946-ban, és oldotta meg.
A sejtés A következőkben jelölje a sík pontja közti minimális különböző távolságok számát.1946-os cikkében Erdős igazolta a becslést néhány konstansra. Az alsó korlát viszonylag könnyen belátható, a felső korlátot egy négyzetrács adja (hiszen olyan n-nél kisebb szám van, ami két négyzetszám összegeként felírható, lásd Landau–Rámánudzsan-konstans). Erdős sejtése szerint a felső korlát közelebb van a g(n) tényleges értékéhez, konkrétabban igaz minden konstansra.
Részeredmények Erdős 1946-os alsó korlátját sikeresen javították a következőkre:
Magasabb dimenziók Erdős foglalkozott a probléma magasabb dimenziójú változataival is: d≥3-ra jelölje gd(n) a d dimenziós euklideszi térben n pont közötti lehetséges távolságok minimális számát. Igazolta, hogy és , továbbá sejtése szerint a felső korlát valójában éles, tehát . pontosították az alsó korlátot a következőre: .
Kapcsolódó szócikkek Falconer-sejtés Erdős-féle egységtávolság-probléma
Irodalom . . . . . See also The Guth-Katz bound on the Erdős distance problem by Terry Tao and Guth and Katz’s Solution of Erdős’s Distinct Distances Problem by Pach János.
. . . . .
További információk William Gasarch's page on the problem János Pach's guest post on Gil Kalai's blog Terry Tao's blog entry on the Guth-Katz proof, gives a detailed exposition of the proof.
Kategória:Matematikai tételek Kategória:Erdős Pál Kategória:Diszkrét geometria