Az 1912-es Nemzetközi Matematikai Kongresszuson Edmund Landau négy egyszerű, prímszámokkal kapcsolatos problémát vázolt föl. Beszédében ezeket a problémákat úgy jellemezte, mint amelyekkel az akkori tudomány nem képes mit kezdeni („unattackable at the present state of science”) és attól kezdve Landau-féle problémák néven ismeretesek. A Landau-problémák a következők: Goldbach-sejtés: Felírható-e minden 2-nél nagyobb egész szám két prímszám összegeként? Ikerprím-sejtés: Létezik-e végtelen sok p prím, melyre p + 2 is prímszám? Legendre-sejtés: Található-e mindig legalább egy prímszám két egymást követő négyzetszám között? Létezik-e végtelen sok p prímszám, melyre p − 1 négyzetszám? Másként fogalmazva: létezik-e végtelen sok n2 + 1 alakú prímszám? .
Jelenleg (2016) mind a négy probléma megoldatlan.
A megoldás felé vezető lépések
Goldbach-sejtés A Vinogradov-tétel igazolja a gyenge Goldbach-sejtést kellően nagy n-ekre. 2013-ban Harald Helfgott bizonyította a gyenge sejtést minden 5-nél nagyobb páratlan számra.Helfgott, H.A. (2013). "Major arcs for Goldbach's theorem" arXiv:1305.2897Helfgott, H.A. (2012). "Minor arcs for Goldbach's problem". arXiv:1205.5252Helfgott, H.A. (2013). "The ternary Goldbach conjecture is true". arXiv:1312.7748
A Chen-tétel kimondja, hogy kellően nagy n-re , ahol p prím, q pedig prím vagy félprím. Montgomery és Vaughan megmutatták, hogy a kivételhalmaz (két prímszám összegével nem kifejezhető páros számok) természetes sűrűsége zéró.
Tomohiro Yamada igazolta a Chen-tétel egy explicit változatát,Yamada, Tomohiro (2015-11-11). "Explicit Chen's theorem". arXiv:1511.03409 mely szerint minden páros szám felírható egy prím és egy prím vagy félprím összegeként.
Ikerprím-sejtés Yitang ZhangYitang Zhang, Bounded gaps between primes, Annals of Mathematics 179 (2014), pp. 1121–1174 from Volume 179 (2014), Issue 3 megmutatta, hogy végtelen sok, egymástól legfeljebb 70 millió távolságra lévő prímpáros létezik, ezt az eredményt matematikusok összehangolt munkájával sikerült 246-os prímhézagra javítani. Ha az általánosított Elliott–Halberstam-sejtés igaz, a prímhézagot 6-ra sikerült javítani, kiterjesztve Maynard,J. Maynard, Small gaps between primes. To appear, Annals of Mathematics. valamint Goldston, Pintz & Yıldırım korábbi munkáit.Daniel Alan Goldston, Yoichi Motohashi, János Pintz and Cem Yalçın Yıldırım, Small Gaps between Primes Exist . Proceedings of the Japan Academy, Series A Mathematical Sciences 82 4 (2006), pp. 61-65.
Chen megmutatta, hogy végtelen sok olyan p prím (későbbi nevükön Chen-prímek) létezik, melyekre p+2 prím vagy félprím.
Legendre-sejtés Elegendő azt vizsgálni, hogy a p-vel kezdődő prímszámhézag kisebb-e, mint . A maximális prímhézagok táblázata alapján a sejtés biztosan igaz 4 · 1018-ig.Jens Kruse Andersen, Maximal Prime Gaps. Egy 1018 körüli ellenpéldának a szokásos prímszámhézag 50 milliószorosát kellene teljesíteni. Matomäki eredménye szerint legfeljebb olyan kivételes prím létezik, melyeket -nál nagyobb hézag követ; formálisan: .
Ingham igazolta, hogy kellően nagy n-ekre biztosan létezik prímszám és között.
Csaknem négyzetszám prímek Az 1997-ben igazolt Friedlander–Iwaniec-tétel szerint végtelen sok .. alakú prímszám létezik. Iwaniec megmutatta, hogy végtelen sok alakú szám létezik legfeljebb két prímtényezővel (tehát prímek vagy félprímek)..
Az ellenkező irányt tekintve, a Brun-szita megmutatja, hogy ilyen prímszám létezik x-ig.
Jegyzetek
További információk
Kategória:Prímszámokkal kapcsolatos sejtések Kategória:Matematikatörténet