Az örökifjú tulajdonság egy valószínűségszámításban használt fogalom.
A X valószínűségi változó örökifjú tulajdonságú (vagy röviden örökifjú), ha minden és számra teljesül, hogy
vagy . (A kettő megkülönböztetésének folytonos valószínűségi változóknál nincs jelentősége.)
Szemléletesen, ha például a valószínűségi változó egy eszköz élettartama, akkor az örökifjú tulajdonság azt jelenti, hogy a valamilyen életkorú eszköz ugyanakkora eséllyel nem romlik el még t ideig, amekkora eséllyel nem romolna el t ideig, ha új lenne.
Példák
Folytonos valószínűségi változó Az exponenciális eloszlású valószínűségi változó örökifjú tulajdonságú.
Bizonyítás:
Mivel minden számra, ezért minden számra, és így .
Megmutatható, hogy csak az exponenciális eloszlás örökifjú tulajdonságú a folytonos eloszlások közül, vagyis ha egy folytonos valószínűségi változó örökifjú tulajdonságú, akkor exponenciális eloszlást követ.
Diszkrét valószínűségi változó A geometriai eloszlás is örökifjú tulajdonságú.
Ha , abban az esetben , ugyanis . Ezért .
Ha pedig , abban az esetben , a fentihez hasonlóan. Ebből következően .
A diszkrét eloszlások közül a geometriai az egyetlen örökifjú tulajdonságú.
Források
http://math.bme.hu/~morap/Gyakorlat7.pdf http://www.renyi.hu/~major/szeged/szeged1/eloadas8.pdf http://www.math.wm.edu/~leemis/chart/UDR/PDFs/GeometricF.pdf
Kategória:Valószínűségszámítás