A matematika, azon belül a számelmélet területén a Fibonacci-prímek olyan Fibonacci-számok, melyek egyben prímszámok is, így a számsorozatprímek közé tartoznak.

Az első néhány Fibonacci-prím:

2, 3, 5, 13, 89, 233, 1597, 28657, 514229, 433494437, 2971215073, ... .

Ismert Fibonacci-prímek Nem ismert, hogy végtelen sok Fibonacci-prímszám létezik-e. Az első 33 n érték, amire Fn Fibonacci-prím : 3, 4, 5, 7, 11, 13, 17, 23, 29, 43, 47, 83, 131, 137, 359, 431, 433, 449, 509, 569, 571, 2971, 4723, 5387, 9311, 9677, 14431, 25561, 30757, 35999, 37511, 50833, 81839.

Ezeken a bizonyítottan prím Fibonacci-számokon kívül a következő sorszámokhoz tartoznak valószínű prímek: n = 104911, 130021, 148091, 201107, 397379, 433781, 590041, 593689, 604711, 931517, 1049897, 1285607, 1636007, 1803059, 1968721, 2904353.PRP Top Records, Search for : F(n). Retrieved 2014-08-12.

Az n = 4 eseten kívül minden Fibonacci-prím sorszáma is prím, mivel ha a osztója b-nek, akkor is osztója -nek; ebből azonban nem következik, hogy a Fibonacci-sorozat minden prím indexe Fibonacci-prímet adna.

Az Fp az első 10 prímszám közül 8-ra prímet eredményez, az F2 = 1 és F19 = 4181 = 37 × 113 kivételével. A Fibonacci-prímek azonban az index növekedésével gyorsan ritkulni kezdenek: a alatti 1229 darab prím közül mindössze 26 ad Fibonacci-prímet.Sloane's , A prím indexű Fibonacci-számok prímtényezőinek száma: 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 3, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 2, 1, 2, 4, 2, 3, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 3, 4, 2, 4, 4, 2, 2, 3, 3, 2, 2, 4, 2, 4, 4, 2, 5, 3, 4, 3, 2, 3, 3, 4, 2, 2, 3, 4, 2, 4, 4, 4, 3, 2, 3, 5, 4, 2, 1, ...

2015 szeptemberében a legnagyobb ismert Fibonacci-prím (tehát nemcsak valószínű prím) az F81839, jeggyel. Prímségét David Broadhurst és Bouk de Water bizonyították 2001-ben.Number Theory Archives announcement by David Broadhurst and Bouk de WaterChris Caldwell, The Top Twenty: Fibonacci Number from the Prime Pages. Retrieved 2009-11-21. A legnagyobb ismert Fibonacci-valószínű prím az F2904353. Ez számjeggyel írható le, és Henri Lifchitz találta meg 2014-ben. Nick MacKinnon megmutatta, hogy a Fibonacci-prímek közül kizárólag a következők ikerprímpár-tagok: 3, 5 és 13.N. MacKinnon, Problem 10844, Amer. Math. Monthly 109, (2002), p. 78

A Fibonacci-számok oszthatósága Egy p≠5 prím akkor és csak akkor osztója Fp−1-nek, ha p kongruens ±1 (mod 5) és p akkor és csak akkor osztója Fp+1-nek, ha kongruens ±2 (mod 5). (A p=5 esetben F5=5, így 5 osztja F5-öt)

A p prím indexű Fibonacci-számoknak egyetlen közös osztójuk sincs a náluk kisebb Fibonacci-számokkal, a következő azonosság miatt:

LNKO(Fn, Fm) = FLNKO(n,m).Paulo Ribenboim, My Numbers, My Friends, Springer-Verlag 2000

Ha n ≥ 3, Fn akkor és csak akkor osztója Fm-nek, ha n osztója m-nek.Wells 1986, p.65

Ha feltesszük, hogy m a fenti azonosságban szereplő p prímszám és n kisebb p-nél, akkor nyilvánvaló, hogy Fp-nek nem lehet közös osztója a megelőző Fibonacci-számokkal.

GCD(Fp, Fn) = FGCD(p,n) = F1 = 1 Ez azt jelenti, hogy Fp-nek mindig karakterisztikus prímtényezői lesznek, vagy maga is prím lesz. Az egyes Fibonacci-számok különböző prímtényezőinek száma egyszerűen megfogalmazható. 1. „Fnk többszöröse Fk-nak bármely n és k pozitív egészekre.”The mathematical magic of Fibonacci numbers Factors of Fibonacci numbers Kijelenthető, hogy Fnk legalább annyi különböző prímtényezővel fog rendelkezni, mint Fk. Az Fp az Fk egyetlen prímtényezőjével sem fog rendelkezni, de a Carmichael-tétel alapján legalább egy karakterisztikus prímtényezővel igen. 2. A Carmichael-tétel minden Fibonacci-számra igaz, néhány speciális eset (1, 8 és 144) kivételével „Ha megvizsgáljuk egy Fibonacci-szám prímtényezőit, legalább egy olyat fogunk találni, ami egyetlen kisebb Fibonacci-szám prímtényezői között sem szerepelt.”

Legyen πn az Fn különböző prímtényezőinek száma. Ha k | n, akkor πn >= πk+1. (kivétel: π6 = π3 = 1) Ha k=1 és n páratlan prímszám, akkor 1 | p és πp >= π1+1, vagy egyszerűbben: πp>=1. n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Fn 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181 6765 10946 17711 28657 46368 75025 πn 0 0 0 1 1 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 3 3 1 3 2 4 3 2 1 4 2 Ha az Fn karakterisztikus prímosztóját keressük, az első lépés azon korábbi Fk Fibonacci-számok prímosztóival való leosztás, melyekre k | n.Jarden - Recurring sequences, Volume 1, Fibonacci quarterly, by Brother U. Alfred

Így pontosan azok a tényezők maradnak meg, melyek még nem jelentek meg a sorozatban.

Ha p és q is prímszámok, akkor Fpq minden prímtényezője karakterisztikus, kivéve az Fp-ben vagy Fq-ban szereplőket. LNKO(Fpq, Fq) = FLNKO(pq,q) = Fq LNKO(Fpq, Fp) = FLNKO(pq,p) = Fp πpq>=πq+πp+1 (kivétel: πp2>=πp+1)

Például F247 π(19·13)>=(π13+π19)+1.

A prím indexű Fibonacci-számok különböző prímosztóinak száma : p 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 πp 0 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 3 2 1 1 2 2 2 3 2 2 2 1 2 4

Wall–Szun–Szun-prímek

Egy p ≠ 2, 5 prímet Fibonacci–Wieferich-prímnek vagy Wall–Szun–Szun-prímnek nevezünk, ha p2 osztója az Fq Fibonacci-számnak, ahol q éppen p mínusz a Legendre-szimbólum, aminek definíciója:

Egy p prímszámhoz tartozó legkisebb u > 0 index, melyre Fu osztható p-vel a megjelenés rendje (rank of apparition) vagy p Fibonacci-belépési pontja (Fibonacci entry point), jelölése a(p). Ismert, hogy minden p ≠ 2, 5 számra a(p) osztója -nek, tehát -nek vagy -nek.

A megjelenés rendje, a(p) minden p prímszámra definiált. A megjelenés rendje osztója a π(p) Pisano-periódusnak és segítségével meghatározható az összes, a p prímszámmal osztható Fibonacci-szám.

Egy adott prímszám hatványainak oszthatóságával kapcsolatban, ha :

pn | Fukpn-1

Továbbá, n=2 és k=1 esetén: p2 | Fpu

Minden olyan p prímre, ami nem Wall–Szun–Szun-prím, a(p2) = a(p) · p, ahogy az alábbi táblázat is mutatja:

p 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 a(p) 3 4 5 8 10 7 9 18 24 14 30 19 20 44 16 27 58 15 a(p2) 6 12 25 56 110 91 153 342 552 406 930 703 820 1892 752 1431 3422 915

Fibonacci-számok primitív része

A Fibonacci-számok primitív része: 1, 1, 2, 3, 5, 1, 13, 7, 17, 11, 89, 1, 233, 29, 61, 47, 1597, 19, 4181, 41, 421, 199, 28657, 23, 3001, 521, 5777, 281, 514229, 31, 1346269, 2207, 19801, 3571, 141961, 107, 24157817, 9349, 135721, 2161, 165580141, 211, 433494437, 13201, 109441, 64079, 2971215073, 1103, 598364773, 15251, ...

Az n természetes számok, melyekre az primitív részre prím adódik: 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 28, 29, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 43, 45, 47, 48, 51, 52, 54, 56, 60, 62, 63, 65, 66, 72, 74, 75, 76, 82, 83, 93, 94, 98, 105, 106, 108, 111, 112, 119, 121, 122, 123, 124, 125, 131, 132, 135, 136, 137, 140, 142, 144, 145, ...

akkor és csak akkor Fibonacci-prím, ha a p prímszám szerepel ebben a sorozatban; továbbá akkor és csak akkor Lucas-prím, ha 2p szerepel a sorozatban (ahol a Lucas-sorozat); pedig akkor és csak akkor Lucas-prím, ha 2n szerepel a sorozatban.

Az primitív prímtényezőinek száma: 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 3, 2, 3, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 3, 2, 4, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, ...

Az legkisebb primitív prímtényezői: 1, 1, 2, 3, 5, 1, 13, 7, 17, 11, 89, 1, 233, 29, 61, 47, 1597, 19, 37, 41, 421, 199, 28657, 23, 3001, 521, 53, 281, 514229, 31, 557, 2207, 19801, 3571, 141961, 107, 73, 9349, 135721, 2161, 2789, 211, 433494437, 43, 109441, 139, 2971215073, 1103, 97, 101, ...

Kapcsolódó szócikkek Lucas-számok

Jegyzetek

További információk

R. Knott Fibonacci primes Caldwell, Chris. Fibonacci number, Fibonacci prime, and Record Fibonacci primes at the Prime Pages Factorization of the first 300 Fibonacci numbers Factorization of Fibonacci and Lucas numbers Small parallel Haskell program to find probable Fibonacci primes at haskell.org

Kategória:Prímszámok Kategória:Fibonacci-számok