A Floer-homológia a matematikában egy eszköz az alacsony dimenziós topológia és a szimplektikus geometria tanulmányozására. A Floer-homológia egy invariáns, ami a véges dimenziós Morse-homológia végtelen dimenziós analógjaként adódik. Az első verziót Andreas Floer vezette be az Arnold-sejtés bizonyításához a szimplektikus geometriában. Ezt ma Hamilton-féle Floer-homológiának nevezzük. Floer emellett a szimplektikus sokaságok Lagrange-részsokaságaira is kifejlesztett egy kapcsolódó elméletet. Floer harmadik konstrukciója a homológiacsoportokat zárt három dimenziós sokaságokkal kapcsolja össze a Yang–Mills-funkcionál segítségével. Ezek és a belőlük levezethető konstrukciók alapvetőek a 21. század elejének topológiájában a szimplektikus, a kontakt, a három és a négy dimenziós sokaságok vizsgálatához.
A Floer-homológiát rendszerint úgy definiálják, hogy a vizsgált objektumot asszociálják egy végtelen dimenziós sokasággal, és egy rajta értelmezett valós értékű függvénnyel. A szimplektikus változatban ez a szimplektikus sokaság szabad huroktere a szimplektikus hatás függvénnyel. A három dimenziós sokaságoknál (instanton verzió) ez a sokaság SU(2)-kapcsolatainak tere a Chern–Simons-funkcionállal. Informálisan, a Floer-homológia a végtelen dimenziós sokaságon értelmezett függvény Morse-homológiája. A Floer-lánckomplexust a függvény kritikus pontjai által kifeszített Abel-csoport alkotja, vagy a kritikus pontok egy halmaza. A lánckomplexus differenciálja a függvény gradiensének bizonyos kritikus pontokat összekötő folyamvonalainak száma. A Floer-homológia ennek a lánckomplexusnak a homológiája.
Floer ötletei alkalmazhatók a gradiens folyamvonal-egyenleteknél. Ennek rendszerint valamilyen geometriai jelentése van, és analitikusan kezelhető. Szimplektikus esetben a huroktér egy útvonalának gradiens folyamegyenletének köze van egy henger leképezéséhez a vizsgált sokaságra, mégpedig annak a leképezésnek Cauchy–Riemann-egyenletének perturbáltja. A megoldásokat pszeudoholomorf görbéknek nevezik. A Gromov-perturbációtétellel megmutatják, hogy a differenciál jóldefiniált és négyzete nulla, így a Floer-homológia alkalmazható. Instanton esetben a gradiens folyamegyenletek megegyeznek a valós egyenessel keresztezett sokaság Yang-Mills-egyenleteivel. Szimplektikus Floer-homológia A szimplektikus Floer-homológia (SFH) a szimplektikus sokaságokhoz és a rajtuk definiált nem degeneratív szimplektomorfizmusokhoz kapcsolódó homológiaelmélet. Ha a szimplektomorfizmus Hamilton, akkor a homológia a szimplektikus sokaság szabad hurokterének univerzális fedésén definiált szimplektikus hatásfunkcionáljából adódik.
Itt a nem degeneratív azt jelenti, hogy az 1 nem sajátértéke egyik fixpont szimplektomorfizmusának deriváltjának sem. Ebből a feltételből következik, hogy a fixpontok izoláltak. Az SFH azokkal a lánckomplexusokkal foglalkozik, amiket egy ilyen szimplektomorfizmus fixpontjai generálnak, ahol a differenciál bizonyos pszeudoholomorf görbéket számol meg a valós egyenes és a szimplektomorfizmus leképezéstóruszának szorzatán. Ez szintén egy szimplektikus sokaság, de dimenziója kettővel több, mint az eredetié. A megfelelő majdnem komplex struktúra megválasztása érdekében a benne futó véges energiájú pontozott holomorf görbék henger alakban végződnek, és aszimptotikusak a lerképezéstórusz hurkaival, és megfelelnek a szimplektomorfizmus fixpontjainak. Relatív index definiálható a fixpontpárok között, és a differenciál azokat a holomorf hengereket számolja, amiknek relatív indexe 1.
Egy kompakt sokaság Hamilton-szimplektomorfizmusának szimplektikus Floer-homológiája izomorf a vizsgált sokaság szinguláris homológiájával. Így az adott sokaság Betti-számainak összege azt az alsó korlátot adja, amit az Arnold-sejtés egy változata megjósol egy nem degenerált szimplektomorfizmus fixpontjainak számára. Egy Hamilton-szimplektomorfizmus SFH-jának van egy szorzata, ami nadrágszerű; ez egy deformált cup szorzata, ami ekvivalens a kvantum kohomológiával.
Egy M sokaság kotangensbundléja esetén a Floer-homológia attól függ, hogy melyik hamiltonit választjuk, és attól, hogy a sokaság nem kompakt. A végtelenben kvadratikus hamiltoniakra a Floer-homológia az M szabad hurokterének szinguláris homológiája. Ezt már több alkalommal is bebizonyították, így Viterbo, Salamon–Weber, Abbondandolo–Schwarz, és Cohen. Vannak további műveletek a kotangensbundle Floer-homológiáján, amelyek megfelelnek a string topológia műveleteinek a vizsgált sokaság hurokterének homológiáján.
A homologikus tükörszimmetria-sejtés képletében is megjelenik a Floer-homológia, bár ezt elég gyötrelmes megmutatni. PSS izomorfizmus 1996-ban S. Piunikhin, D. Salamon és M. Schwarz összefoglalta azt, amit akkor a Floer-homológia és a kvantumkohomológia kapcsolatáról tudtak: Egy (M,ω) félpozitív szimplektikus sokaság hurokterének Floer-kohomológiacsoportjai természetesen izomorfak M közönséges kohomológia és egy alkalmas Novikov-gyűrű tenzorszorzatával, ahol a Novikov-gyűrű a fedő transzformációkkal áll kapcsolatban. Az izomorfizmus intertwines az M kohomológiájának kvantum cup szorzatát a Floer-homológia nadrágszorzatával.
A félpozitív és a kompakt tulajdonságoknak azért kell teljesülniük az M sokaságra, hogy legyen Novikov-gyűrű, és hogy egyaránt lehessen definiálni Floer-homológiát és kvantumkohomológiát. A félpozitív tulajdonsághoz a következőknek kell teljesülniük: minden A ∈ π2(M), ahol λ≥0 (M monoton) minden A ∈ π2(M). A minimális N ≥ 0 Chern-szám, amit definiál, legalább n − 2.
A szimplektikus M sokaság kvantumkohomológia-csoportja definiálható, mint M közönséges kohomológiájának tenzori szorzata a Λ Novikov-gyűrűvel, vagyis
Ez a konstrukció magyarázza, hogy M majdnem komplex struktúrája és a Floer-homológiába vivő izomorfizmus függetlenül választható. Ez utóbbi ötlete a Morse-elméletből és a pszeudoholomorf görbékből származik, aminek hátterében felismerhető a Poincaré-dualitás a homológia és a kohomológia között.
A három-sokaságok Floer-homológiája A zárt három-sokaságokhoz több Floer-homológia is tartozik, amelyek a sejtések szerint ekvivalensek. Mindegyik három fajta homológiacsoportot ad, amelyek egy egzakt háromszögbe illeszkednek. Egy csomó egy három-sokaságban egy szűrést vezet be minden elmélet lánckomplexusán, amelyik lánchomológiájának típusa csomóinvariáns. Homológiáik hasonló formális tulajdonságoknak tesznek eleget, mint a kombinatorikusan definiált Khovanov-homológia.
Ezek a homológiák kapcsolatban állnak a négy dimenziós sokaságok Donaldson- és Seiberg-invariánsaival, továbbá a szimplektikus négy-sokaságok Taubes-Gromov-invariánsaival. Az ezekben az elméletekben tanulmányozott megfelelő három-sokaságok homológiáinak differenciáljait abból a szempontból is vizsgálják, hogy mik a megoldásai a vonatkozó differenciálegyenleteknek (Yang–Mills, Seiberg–Witten, és Cauchy–Riemann) a három-sokaság kereszt R-en. A három-sokaságok Floer-homológiája célja lehet a határolt négy-sokaságok relatív invariánsainak, a zárt négy-sokaság invariánsainak ragasztási konstrukcióihoz; amely négy-sokaságok úgy keletkeztek, hogy határolt három-sokaságokat ragasztottak össze a határuknál. EZ már közel áll a topológiai kvantummező-elmélethez. A Heegaard-Floer-homológia szempontjából először a három-sokaságot definiálják, majd a négy-sokaság invariánsát ez alapján fejezik ki.
A három-sokaságok homológiái többféleképpen is kiterjeszthetők határos három-sokaságok homológiáivá: az egyik a sutured homológia, a másik a határos Floer-homológia. Ezek kapcsolatban állnak a három-sokaságok bizonyos ivariánsaival; a kapcsolatot két határos sokaság összeragasztásával keletkező három-sokaságok ragasztó képletei hozzák létre a Floer-homológia számára.
A kontakt struktúrával ellátott három-sokaságok Floer-homológiái a homológia egy kiemelt elemével is el vannak látva. Ezt Kronheimer és Mrowka ismerte fel a Seiberg–Witten esetben. A beágyazott kontakt homológia definiálásához szükséges megadni egy konkrét kontakt struktúrát, egyébként nem. A beágyazott kontakt homológiához lásd Hutchings.
Mindegyik elmélet egy saját a priori relatív fokrendszerrel van ellátva; ezek felemelhetők abszolút fokrendszerré., amelyek irányított két-sokaságok homotópiaosztályai. Ezt tudjuk a következő szerzőktől: Kronheimer és Mrowka (SWF), Gripp és Huang (for HF), és Hutchings (for ECH). Cristofaro-Gardiner megmutatta, hogy Taubes izomorfizmusa ECH és a Seiberg-Witten Floer-kohomológia között megőrzi az abszolút fokrendszert. Instanton Floer-homológia Egy egy invariáns a három-sokaságok számára, ami a Donaldson-elmélethez kapcsolódik, és személyesen Floer vezette be. Megkapható, ha alkalmazzuk a Chern–Simons-funkcionált egy principális SU(2)-bundle kapcsolatterére. Kritikus pontjai lapos kapcsolatok, és folyamvonalai instantonok, azaz anti-önduális kapcsolatok a három-sokaság és a valós számegyenes keresztezésén. Az instanton Floer-homológia tekinthető a Casson-invariéns általánosításának, mivel a Floer-homológia Euler-invariánsa megegyezik a Casson-invariánssal.
Nem sokkal a Floer-homológia bevezetése után Donaldson észrevette, hogy a kobordizmusok leképezéseket indukálnak. Ez volt az első struktúra, ami később beilleszkedett a topologikus kvantummező-elméletbe.
Seiberg–Witten–Floer-homológia A Seiberg–Witten–Floer-homológia, avagy monopólus Floer-homológia egy homológiaelmélet sima három-sokaságokra, amelyek spinc strukturával vannak ellátva. Tekinthetjük a sokaságon levő U(1) kapcsolatain értelmezett Chern-Simons-Dirac-funkcionál Morse-homológiájának. Az asszociált gradiens folyamegyenlet megfelel a három-sokaság és a valós egyenes keresztezésén értelmezett Seiberg-Witten-egyenletnek. Ekvivalensen, a lánckomplexusok generátorai eltolásinvariáns megoldásai (monopólusai) ezeknek az egyenleteknek. A differenciál azokat a megoldást számolja, amelyek aszimptotikusak a végtelenben és a mínusz végtelenben invariáns megoldásokkal.
A Seiberg-Witten-Floer-homológiát precízen Peter Kronheimer és Tomasz Mrowka vezette be a Monopoles and Three-manifolds című monográfiájában. Innen monopólus Floer-homológiaként is ismert. Taubes megmutatta, hogy izomorf a beágyazott kontakt homológiával. A három-gömbök racionális homológiájának alternatív SWF konstrukciója Manolescu (2003) és Frøyshov (2010) konstrukciója, ami független a monopólusos konstrukciótól. Heegaard-Floer-homológia A Heegaard-Floer-homológia Ozsváth Péter és Szabó Zoltán szerint egy spinc-vel ellátott zárt három-sokaság invariánsa. A Lagrange-Floer homológiához hasonló konstrukcióval számítható a tér Heegaard-diagramja alapján. bizonyítása alapján a Heegaard-Floer-homológia izomorf a Seiberg-Witten-Floer homológiával. bizonyította, hogy a Heegaard-Floer-homológia plusz verziója az irányítás megfordításával izomorf a beágyazott kontakt homológiával.
Egy három-sokaságban levő csomó egy szűrést indukál a Heegaard-Floer-homológiacsoportokon, és a szűréssel nyert homológiatípus egy sok mindenre használható csomóinvariáns, ami még az Alexander-polinomokat is kategorizálja. A csomók Floer-homológiáját egyrészt , másrészt tőlük függetlenül definiálta. Erről tudjuk, hogy detektálja a csomó génuszát. A Heegaard-hasítás hálózati diagramjával a csomók Floer-homológiájára konstrukciót adott .
Az S^3 dupla fedésének egy csomó fölötti Heegaard Floer-homológiája kapcsolódik a Khovanov-homolóügia spektrális sorozatához.
A Heegaard-Floer-homológia kalap verzióját írta le kombinatorikusan. A plusz és a mínusz verziókat, továbbá a négy-sokaságok kapcsolódó Ozsváth-Szabó-invariánsait írta le kombinatorikusan. Beágyazott kontakt Floer-homológia A beágyazott kontakt Floer-homológia Michael Hutchings szerint a megkülönböztető másodlagos homológiával ellátott három-sokaságok egy invariánsa. Clifford Taubes munkássága alapján izomorf a Seiberg–Witten-Floer-kohomológiával. Ebből következik, hogy a fordított irányítású Heegaard-Floer-homológiával is izomorf, ahogy és megmutatta.