A matematika, azon belül a számelmélet területén természetes sűrűség (aszimptotikus sűrűség vagy aritmetikai sűrűség) a természetes számok halmazán belül egy részhalmaz nagyságát meghatározó egyik mérték.
Természetes intuíció alapján úgy vélhetnénk, hogy a négyzetszámok kevesebben vannak a pozitív egész számoknál, hiszen a négyzetszámok eleve pozitív egészek, és rajtuk kívül rengeteg pozitív egész szám létezik. Valójában azonban a pozitív egész számok éppen ugyanannyian vannak, mint a négyzetszámok: mindkét halmaz végtelen, megszámlálható, ezért létezik közöttük 1:1 megfeleltetés. Ennek ellenére, ha a természetes számokon növekvő sorrendben végigmegyünk, egyre kevesebb négyzetszámot találunk. Ezt az intuíciót próbálja precízen megragadni a természetes sűrűség fogalma.
Ha véletlenszerűen kiválasztunk az [1, n] intervallumból egy egész számot, akkor annak a valószínűsége, hogy az A halmazba tartozik, éppen az A halmaz [1, n]-be eső elemeinek száma elosztva az [1, n]-be eső természetes számok számával. Ha ez a valószínűség valamilyen határértékhez tart, miközben n tart a végtelenhez, akkor ezt a határértéket tekintjük A természetes sűrűségének. Ez a szám úgy is felfogható, hogy az A halmazból való elemválasztás valószínűsége. Valóban, az aszimptotikus sűrűséggel (és néhány más sűrűségfajtával) a valószínűségi számelmélet foglalkozik.
Az aszimptotikus sűrűséggel szembe szokás állítani például a Schirelmann-sűrűséget. Az aszimptotikus sűrűség alkalmazásának egyik hátránya, hogy nem minden részhalmazára értelmezhető.
Definíció Pozitív egész számok egy A részhalmaza α aszimptotikus sűrűséggel rendelkezik, ha 1 és n közti természetes számok között az A elemeinek aránya aszimptotikusan α, ahogy n tart a végtelenhez.
Explicitebben, definiáljuk a természetes számokon értelmezett a(n) számláló függvényt úgy, hogy az minden n-re megadja az A-ban található, n-nél nem nagyobb elemek számát; ekkor az, hogy A természetes sűrűsége α a következőt jelenti:
a(n)/n → α, ahogy n → +∞.
A definícióból következik, hogy ha az A halmaz α természetes sűrűséggel bír, akkor 0 ≤ α ≤ 1.
Alsó és felső aszimptotikus sűrűségek
Legyen az természetes számok egy részhalmaza. Bármely -re legyen és .
Az felső aszimptotikus sűrűségét, -t a következőképpen definiáljuk:
ahol lim sup a legkisebb felső korlát. -t egyszerűen az felső sűrűségének is nevezik.
Hasonlóan , az alsó aszimptotikus sűrűsége a következőképpen határozható meg:
Akkor mondható el, hogy aszimptotikus sűrűsége ha , amikor is ezzel a közös értékkel egyezik meg.
Ez a definíció a következőképpen is megfogalmazható:
ha a határérték létezik.Nathanson (2000) pp.256–257
Bizonyítható, hogy a definíciókból az alábbiak is következnek. Ha az részhalmazát felírjuk növekvő sorozatként:
akkor
és
ha a határérték létezik.
Megjegyzés A sűrűség valamelyest gyengébb meghatározása a felső Banach-sűrűség; vegyünk egy halmazt, ekkor legyen a következő:
Tulajdonságok és példák
Ha valamely A halmaznak létezik d(A) természetes sűrűsége, akkor a komplementerhalmazra igaz, hogy d(Ac) = 1 − d(A). Ha , és léteznek, akkor . Bármely A, B halmazra . A természetes számok halmazának d(N) természetes sűrűsége éppen 1. Pozitív egész számok bármely F véges halmazára d(F) = 0. Ha , a négyzetszámok halmaza, akkor d(A) = 0. Ha a páros számok halmaza, akkor d(A) = 0,5. Hasonlóan, bármely számtani sorozatra igaz, hogy d(A) = 1/a. Az összes prímszám P halmazára a prímszámtétel alapján d(P) = 0. A négyzetmentes számok halmazának sűrűsége A bővelkedő számok sűrűsége nem nulla. Marc Deléglise 1998-ban megmutatta, hogy a bővelkedő és tökéletes számok aszimptotikus sűrűsége 0,2474 és 0,2480 között van. Azon számok halmaza, melyek bináris kifejtése páratlan számjegyet tartalmaz jó példa olyan halmazra, aminek nincs aszimptotikus sűrűsége, mivel felső sűrűsége:
míg az alsó sűrűsége:
Hasonlóan, a tízes számrendszerben 1-essel kezdődő számok halmazának sincs természetes sűrűsége: alsó sűrűsége 1/9, felső sűrűsége 5/9.Tenenbaum (1995) p.261 Tekintsük az egyenletes eloszlású sorozatot a intervallumban, és definiáljunk egy monoton halmazcsaládot:
Ekkor definíció szerint minden -re.
Egyéb sűrűségfüggvények A természetes számok részhalmazaira analóg módon hasonló sűrűségfüggvények definiálhatók. Például az A halmaz logaritmikus sűrűségén a következő határérték értendő (ha az létezik):
A felső és alsó logaritmikus sűrűségek is analóg módon definiálhatók.
Kapcsolódó szócikkek Dirichlet-sűrűség
Fordítás
Jegyzetek
Kategória:Számelmélet Kategória:Kombinatorika