keretezett|jobbra|Az háromelemű halmaz Hasse-diagramja. Erre a halmazra a Dirac-mérték a bal felső négyesre 1-et, a többi elemre 0-t ad eredményül. A Dirac-mérték egy matematikai fogalom, ami nagyságot rendel egy halmaz részhalmazaihoz, annak függvényében, hogy egy meghatározott érték eleme-e vagy sem. Ennek révén lehet formalizálni a Dirac-delta függvényt, aminek fontos alkalmazásai vannak a modern fizikában és különféle mérnöki-technikai területeken.
Definíció Legyen mérhető tér, és legyen . Ekkor Dirac-mértéknek nevezzük a következő függvényt:
A Dirac-mérték egy valószínűségi mérték, az mintatéren a majdnem biztosan bekövetkező eseményt jellemzi. Úgy is tekinthetnénk, hogy egyetlen atom -ben, azonban a Dirac-mérték atomi mértékként kezelése helytelen, mivel a Dirac-mérték egy delta-sorozat határértéke. Sokkal inkább kezelhető az feletti valószínűségi mértékek konvex halmazának határpontjaként.
Maga a név a Dirac-féle δ-függvényre vezethető vissza. A Dirac mérték egyfajta Schwartz-eloszlásnak is tekinthető, például a valós számegyenesen. Ebben az esetben , vagy más formában . Ilyen formában a δ-disztribúció definíciójaként is szolgál a Lebesgue-integrálelméletben.
A Dirac-mérték tulajdonságai Legyen mérhető tér, és egy ehhez tartozó Dirac-mérték. Ekkor valószínűségi mérték felett, és mint ilyen, véges. Legyen topológiai tér, és legalább olyan finomságú, mint a feletti Borel-féle σ-algebra. Ekkor szigorúan pozitív mérték, ha eleme minden nem üres halmaznak -ben. Ez fordítva is igaz.Ilyen a triviális topológia Lokálisan véges mérték, ez következik abból, hogy valószínűségi mérték is. Ha Hausdorff-tér a Borel-féle σ-algebrával, akkor kielégíti a reguláris belső mérték feltételeit, mivel minden egyelemű halmaz kompakt. A fenti esetben Radon-mérték is. Ha elég finom ahhoz, hogy zárt legyen,Általában ez teljesül is. akkor tartója is lesz. Mi több, az egyetlen -tartójú valószínűségi mérték. Minden egyéb esetben a lezárása lesz -nak. Ha euklideszi tér a szokásos σ-algebrával és az -dimenziós Lebesgue-mértékkel, akkor erre nézve szinguláris mérték. Ezt egyszerű belátni: legyen és , ekkor .
Általánosítás A diszkrét mérték hasonlít a Dirac-mértékhez, azonban egyetlen helyett megszámlálhatóan sok pontra van értelmezve. Általánosabban minden mérték diszkrét a valós számegyenesen, ha a tartója legalább megszámlálható halmaz.
Jegyzetek
Fordítás
Kategória:Mértékelmélet