Ebben a szócikkben a komplex számok matematikadidaktikai vonatkozásait, kérdéseit tárgyaljuk; tehát azokat, melyek a komplex számok tanításában vetődnek fel.

Bevezetés

A komplex szám fogalma a valós szám fogalmának általánosítása, utóbbinál annyiban több, hogy a komplex számok körében negatív valós számból is tetszőleges egész kitevős gyököt lehet vonni. A valós számok körében például az x² = −1 egyenletnek nincs megoldása. Ugyanakkor a négy alapműveletre és azok inverzeire (kivéve a nullával való osztást) a valós számkör zárt.

A komplex szám fogalma a matematika fejlődése során, a 16. századi Délnyugat-Európában természetes módon vetődött fel, mint korábban például a negatív szám, vagy az irracionális szám fogalma. Ez időszakban jöttek rá, hogy bizonyos egyenleteket (a harmad- és többedfokú algebrai egyenletek) képtelenek megoldani az addig ismert (elfogadott, megértett) számok között és módszerekkel.

Az x² = −1 egyenletnek – amennyiben ragaszkodunk ahhoz, hogy az x változó helyébe csak valós számot írhatunk – nincs megoldása. Hiszen akármilyen is legyen az x előjele, négyzete sohasem lehet negatív. Bizonyos matematikai eljárások viszont lehetségessé tették, hogy olyan számokkal is végezzünk értelmes és eredményre vezető számításokat, melyek négyzete negatív (ezek az imaginárius vagy képzetes számok). A harmadfokú egyenlet valós megoldásainak algebrai módszerekkel való kiszámítása során szükségképp négyzetgyököt kell vonni negatív számból (ld.: Harmadfokú egyenlet megoldóképlete). Tehát az az érdekes dolog áll elő; hogy bár az algebrai műveletek (összeadás, kivonás, szorzás, osztás és ezek kombinációi, mint például a hatványozás) nem „vezetnek ki” a valós számok köréből, a hatványozás inverze, a gyökvonás már igen, és ahová „kivezet”, az a komplex számkör. Érdemes megjegyezni, hogy a valós számoknak másféle kiterjesztései is vannak (ld. szürreális számok, nemstandard analízis); és a számok közti műveletek bizonyos tulajdonságairól (kommutativitás) lemondva, a komplex számok halmaza is tovább tágítható.

Didaktikai megjegyzések

A komplex számok fogalmának bevezetésére több út kínálkozik (az alábbi felsorolás nem teljes). Az „ultraformalista” út. Posztuláljuk, hogy létezik valami olyasmi, aminek a négyzete -1, és amit i-vel jelölünk. Majd szintén posztuláljuk, hogy a komplex számok halmaza legyen az alakú kifejezések halmaza, ahol a és b valós számok. Majd a műveleti szabályok bemutatása következik. A tanuló – ha elég sokat gyakorol – elfogadja, megszokja az új fogalomalkotást. Belátja annak ellentmondásmentességét; vagy úgy tesz, mintha belátná, mindenesetre megtanulja kezelni az új instrumentumot. Kritikák. Sokan panaszkodnak azonban arra, hogy az fogalmát nem sikerült interiorizálniuk. Tény az, hogy az ugyancsak sokkoló hatású negatív szám vagy irracionális szám fogalmát a mai iskolarendszerben a tanulók egy fogékonyabb korszakukban ismerik meg; a komplex szám fogalmával legtöbbjük már kevésbé fogékony. A pszichológiai-didaktikai jellegű problémákon túl – de azoktól nem feltétlenül függetlenül – másfajta probléma is adódik. Ez a fajta teljesen formalista bevezetés, melyet már Gottlob Frege is bírált Az aritmetika alapjai c. tanulmányában, mély filozófiai – lételméleti – problémákat vet fel. A fő gondot az okozza, hogy egyáltalán nem világos sem az i egység, sem az ai („a-szor i”) kifejezés, sem a "+" és a "-" jelek e kontextusbeli „mibenléte”. Az ilyen kérdéseket csak látszólag könnyű azzal az ellenvetéssel hárítani, hogy „a matematika nem foglalkozik létfilozófiával”. Valójában foglalkozik. A matematika valóban nem filozófia, de a fenti ellenvetés mégis pontatlan; ugyanis a felsőbb matematika azért kerülheti el a létfilozófiai kérdéseket, mert rendelkezésére állnak a valós és komplex számok halmazelméleti konstrukciói, és így a felsőbb matematikában az i és a komplex számok halmazelméletileg léteznek. Ez a felsőbb matematikai út a középfokú oktatásban járhatatlan, ahol a kereteszközök sem állnak rendelkezésre (nem részei a tananyagnak), és ha rendelkezésre állnának, akkor is nagyon hosszadalmas lenne a komplex számok felépítése. Tehát a középfokú felépítés számára bizony létfilozófiai problémát jelent mind az i egység, mind az a+bi kifejezésben a + jel mibenléte (Frege már idézett művében konkrétan említi, hogy a + jelnek semmi értelme ebben a felépítésben). És támadható az a vélemény, hogy ezt a problémát a középfokú oktatásnak, mint filozófiai problémát, joga van kikerülni. Ez a „kikerülés” felveti a tudománytalanság kérdését, mert a matematikában a tudományosság alapvető feltételét képezik az egzisztencia-vizsgálatok, vagyis annak belátása, hogy létezik-e az a valami, amit definiáltunk. „Egy fogalmat nem lehet puszta definícióval létezővé tenni, hiszen ily módon a lusta diákot pusztán azzal, hogy szorgalmasnak mondjuk, szorgalmassá lehetne tenni” – mondja Frege. A formalista-strukturalista út: A másik didaktikai lehetőség az, ha a komplex szám fogalmát minden szemlélettől elvonatkoztatva a rendezett pár fogalmából kiindulva vezetjük be. Kritikák. E formalista megközelítés szintén nem mentes a mély filozófiai problémáktól (ld. még: rendezett pár). Geometriai megközelítés: A Wikipédia komplex számok c. szócikke talán a legszélesebb körben elfogadható utat választja a komplex szám fogalmának megalapozására. A tanuló egyszerű, kétdimenziós vektorokként találkozik a komplex számokkal. A vektorösszeadás művelete már ismert a számára, a vektorok szorzásának bevezetése pedig elfogadható és játékos dolog. A (számszerű-) vektorszorzás tanulmányozása elvezet a vektorhatványozás és a vektorokból való gyökvonás fogalmához. Ebben a felfogásban örömmel tapasztaljuk, hogy a minden mesterkéltség nélkül a „mínusz egy”-nek megfeleltetett vektor négyzetgyöke is egy vektor csak éppen nem a valós számoknak megfeleltetett vektorok között fekszik. Kritika.. A geometriai szemléltetés eltereli a figyelmet arról, hogy a komplex számok azon kívül, hogy nem rendezhetők úgy, mint a valós számok, azért mégis inkább számok, mégis inkább algebrai objektumok, mint geometriai alakzatok. A geometriai megközelítés éppen szemléletessége révén kerül a legtávolabbra attól a felfogástól, hogy a komplex számtest az algebrai testfogalom egy modellje, akár a valós számok. E tekintetben káros ez felfogás, hiszen eltávolítja a tanulót az „absztrakció és modellje” fogalompár megértésétől. Szögezzük le azonban, hogy ez a kritikai megjegyzés minden szemléletességre való törekvés esetében igaz, amennyiben a „szemléletes” megelőzi az „absztrakt” bevezetését az oktatásban. A jelen szócikk célja: A fenti problémák teljes vagy részleges megoldásaként, a cikk további részében utakat, példákat mutatunk az említett, részben filozófiai, részben didaktikai problémák kezelésére. Utalunk például a komplex számoknak az algebrai testbővítéssel való kapcsolatára. Megmutatjuk, hogy a negatív szám a maga módján éppen olyan „természetellenes” dologként lép fel egyenletek megoldásakor, mint a komplex szám.

Példák a komplex számok alkalmazásaira A semmiből készülő hidak

Az alábbi, vicces formában megfogalmazott feladat két célt szolgál. (1) A kezdő most kipróbálhatja az új technikát. (2) A példa illusztrálja, hogy a komplex számok megjelenése bizonyos egyenletek megoldása során semmivel sem természetellenesebb, mint mondjuk a negatív számok megjelenése. Egyben figyelmeztet arra, hogy a matematikai modellek adta eredményeket alaposan diszkutálni kell a való életben való alkalmazás előtt.

A hídépítés valóban komoly dolog – de lehet-e a semmiből is hidat építeni? Egy megszállott hídépítő, aki úgy sejtette, hogy lehet, ellenőrzésképpen hidak építésébe fogott. A rendelkezésére álló alapanyagok: egy darab x méterszer x méteres négyzet alakú bádoglap és elegendő mennyiségű piros és zöld festék. A hídépítő a bádoglap két széléből egy-egy méternyit felhajtott; ez lett a korlát. A híd járólapját zöldre festette felül, a korlátokat pedig kívül-belül pirosra, ahogy a mellékelt ábra mutatja. A járólap alsó, nem látható felére nem került festék.

framed|jobbra

Feladat: A járólap festésekor -rel nagyobb felületet kellett befesteni, mint a korlátok festésekor. Mennyi volt x? Feladat: A járólap festésekor -rel kisebb felületet kellett befesteni, mint a korlátok festésekor. Mennyi volt x? Az igazi feladat: Több lehetséges hídváltozattal találkozunk majd. Melyik híd készült a semmiből?

Megoldás. Mind a két feladat az alábbi másodfokú egyenlethez vezet:

,

ahol az első feladatban és a második feladatban. A másodfokú egyenlet megoldóképletének felhasználásával arra jutunk, hogy az első esetben két valós megoldás van: 8 m és −2 m. Tehát két valós méretű híd épülhet; az egyik 8 méteres oldalhosszúságú bádoglapból, a másik −2 méteresből. Biztos ez a második készült semmiből. Ha , akkor szörnyű a helyzet, mert nincs valós megoldás, a két szóba jövő oldalhossz: és méter. Ezek a hidak is semmiből készültek tehát. De melyik híd készült „inkább” semmiből a három képzeletbeli híd közül: a negatív oldalhosszúságú, vagy a komplex oldalhosszúságúak?

A komplex gyökök szemléltetése a másodfokú esetben framed|jobbra Az előző példában azt találtuk, hogy az egyenletnek nincsen valós megoldása. Ez megfelel annak, hogy az függvény grafikonja nem metszi az x tengelyt. (ld. a kék görbét a mellékelt ábrán) Érdekes módon nem közismert, pedig triviális, hogy a komplex megoldásokat a valós egyenesen szemléltetni lehet. Tükrözzük ugyanis a kék görbét a minimumhelyét érintő vízszintes egyenesre (piros görbe). A piros görbe már metszi az x tengelyt. A minimumhely és a piros görbe tengelymetszéspontjai közötti különbségek éppen a két gyökhöz tartozó képzetes részt adják előjelhelyesen, a valós rész pedig a minimumhely. Az ábráról a megoldóképlet nélkül is leolvashattuk volna, hogy a gyökök 3+i és 3-i. Ugyanúgy, ahogy a valós megoldások elvileg leolvashatók az ábráról, ha léteznek. Ez a szemléltetési lehetőség csak akkor adott, ha együtthatója 1. Viszont ez az együttható sosem 0 (hiszen másodfokú egyenletről van szó), ezért osztani lehet vele az egyenlet mindkét oldalát és ez az operáció a megoldásokat nem változtatja meg. Az ismertetett szemléltetési mód tehát mindig alkalmazható, de az együtthatója legyen 1.

A megoldóképlet egy elegánsabb alakja Ha a másodfokú egyenletet olyan alakra hozzuk, hogy az tag együtthatója 1 (és ez mindig megtehető), akkor a standard megoldóképletből kiindulva belátható, hogy ha azt a számot jelöli, ahol a parabola a szélsőértékét felveszi, pedig a szélsőértékhelyen felvett értéket, akkor

.

A harmadfokú egyenlet megoldása

A másodfokú egyenlet megoldóképletét ismerjük a középiskolából. Az a tény, hogy formálisan vagy akár szemléletesen értelmezni tudjuk a megoldást, akkor is, ha nincsenek valós gyökök (mint az előző példában) még nem bizonyítja, hogy a komplex számokkal való foglalatoskodás több, mint öncélú játék. A harmadfokú egyenletre vonatkozóan viszont csak olyan megoldóképlet van, amely valós gyökök nélküli másodfokú egyenlet megoldására vezet (miközben a megoldandó harmadfokú egyenletnek vannak valós gyökei). Tehát a harmadfokú egyenletet – legalábbis a megoldóképlettel – csak úgy oldhatjuk meg, ha elfogadjuk a komplex számokkal való számolás szabályait. Így aki a gyakorlatban is találkozik a harmadfokú egyenletekkel, az látni fogja, hogy vagy numerikus gyökközelítő eljárást kell alkalmaznia a megoldások meghatározására, vagy szembe kell néznie a komplex számokkal – és így azok realitása is fölvetődik.

Szinuszos áramú hálózatok

A mellékelt ábrán egy egyszerű ellenálláshálózat látható. 350px

Az eredő ellenállás kiszámításához a soros és párhuzamos kapcsolás képletét használva kapjuk, hogy .

Ha most a hálózat két kapcsára U egyenfeszültséget kötünk, akkor az átfolyó áram erősségét a jól ismert Ohm törvény segítségével határozhatjuk meg: . Az Ohm törvény egy ilyen hálózat esetén, akkor is érvényes, ha a feszültség szinuszosan változik:

(feltéve, hogy az ellenállások ideálisak.)