Euler-függvény

bélyegkép|350px|Az Euler-féle φ-függvény grafikonja

A -nel jelölt Euler-függvény (vagy Euler-féle fí-függvény) a matematikában a számelmélet, különösen a moduláris számelmélet egyik igen fontos függvénye, egy egész számokon értelmezett egész értékű ún. számelméleti függvény. J. J. Sylvester 1879-ben a totient (kb. „annyiszoros”, magyarul a hányados-kvóciens mintájára esetleg tóciens) függvény nevet adta neki.

Legelemibb meghatározása, hogy egy adott pozitív egész számhoz a nála nem nagyobb relatív prím pozitív egész számok számát adja meg.

Formálisan:

Egy másik, de fentivel teljességgel azonos függvényt adó értelmezésben e függvény a modulo n redukált maradékosztályok számát adja meg (ez gyakorlatilag ugyanaz, mint az előbbi definíció, elvontabban, a maradékaritmetika kifejezéseivel megfogalmazva).

Félig-meddig explicit (a számelmélet alaptételét használó) képlet is adható e függvény kiszámítására, ld. lentebb.

Általánosítása a Jordan-függvény.

Értékei kis számokra

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 1 1 2 2 4 2 6 4 6 4 10 4 12 6 8 8 16 6 18 8 12 10 22 8 20 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 12 18 12 28 8 30 16 20 16 24 12 36 18 24 16 40 12 42 20 24 22 46 16 42 20 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 32 24 52 18 40 24 36 28 58 16 60 30 36 32 48 20 66 32 44 24 70 24 72 36 40 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 36 60 24 78 32 54 40 82 24 64 42 56 40 88 24 72 44 60 46 72 32 96 42 60 40

Legfontosabb tulajdonságai Multiplikativitás

Talán a legfontosabb tulajdonsága, hogy („gyengén”) multiplikatív, azaz relatív prím számok szorzatán ugyanazt az értéket veszi fel, mint ami a két számon felvett értékének szorzata:

Például: a=7 az prím szám, és b=11 szintén prím, és

(lásd az Értékei kis számokra c. táblázatot)

A két prímszám szorzata: , valamint , ami pontosan .

Kiszámítása

Viszonylag könnyű belátni a következőket: Ha prímszám, akkor (mert éppen akkor prím egy p egész szám, ha minden nála kisebb pozitív szám relatív prím hozzá, különben lenne önmagánál kisebb prímosztója!) . Ha prímhatvány, akkor Általánosabb n-re a multiplikativitás és az előző kis tulajdonság alapján, a számelmélet alaptétele felhasználásával számítható ki; Bár talán még elemibb módszer, ha csak a szitaformulát használjuk. Ekkor az így kapott képletből is adódik a multiplikativitás (mindkét módszer persze ugyanazt a képletet eredményezi): ha , , és (páronként) különböző prímek, akkor érvényes , feltéve, hogy ahol tehát az szám különböző prímtényezőinek száma, pedig valamely prímtényezője. A képlet n=0,1-re nem alkalmazható, de mind az elemi, mind a formális definíció szerint φ(0)=0, φ(1)=1.

Például φ(10) = 10×(1-1/2)×(1-1/5) = 10×(1/2)×(4/5)=4; és valóban az 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 számok közt négy darab 10-hez relatív prím van: 1, 3, 7, és 9.

A Möbius-függvény segítségével ez

alakban írható.

Az osztókra összeadva

Ez bizonyítható az explicit formulából, de így is: vegyük az

törteket. Ezek száma nyilván n. Írjuk mindegyiket egyszerűsített formában! Ekkor ezek a/d alakú törtek lesznek, ahol d osztója n-nek. Adott d-hez azok az a számlálók adódnak, amelyekkel egyszerűsített törtet alkot, azaz, ha . Innen adódik a kívánt azonosság.

Összegfüggvénye

Tóciens számok Egy totient vagy tóciens szám (a kvóciens mintájára) az Euler-függvény által felvett érték, tehát a φ függvény értékkészletének egy eleme. Olyan m egész, amihez létezik legalább egy olyan n, amire φ(n) = m. A tóciens m szám valenciáján vagy multiplicitásán az előbbi egyenlet megoldásainak számát értjük (tehát hogy a φ függvény hányszor veszi fel az m értéket).Guy (2004) p.144 Egy nontóciens szám alatt olyan természetes számot értünk, ami nem tóciens szám; az egynél nagyobb páratlan számok mind ilyenek, de rajtuk kívül is végtelen sok nontóciens szám létezik,Sándor & Crstici (2004) p.230 és minden páratlan számnak létezik páros, nontóciens többszöröse.

Az x-nél kisebb tóciens számok határértéke , ahol a konstans C = 0,8178146... .

Ha a multiplicitást figyelembe véve számoljuk össze, az x-nél kisebb tóciens számokat megadó képlet: , ahol az R hibatag nagyságrendje legfeljebb bármilyen pozitív k-ra.Sándor et al (2006) p.22

Ismert az is, hogy m multiplicitása végtelen sokszor haladja meg mδ-t, amennyiben δ < 0,55655.Sándor et al (2006) p.21Guy (2004) p.145

Ford tétele igazolta, hogy minden k ≥ 2 egész számhoz létezik k multiplicitású m tóciens szám; tehát amire a φ(n) = m egyenletnek pontosan k megoldása van; az eredményt korábban Wacław Sierpiński sejtette meg,Sándor & Crstici (2004) p.229 Schinzel H hipotézise folyományaként. Valóban, minden előforduló multiplicitás végtelen sokszor is előfordul.

Nem ismerünk azonban olyan m számot, melynek multiplicitása k = 1. A Carmichael-sejtés állítása szerint nem is létezik ilyen m.Sándor & Crstici (2004) p.228

Ritkán tóciens számok A ritkán tóciens számok koncepcióját David Masser és Peter Man-Kit Shiu alkották meg 1986-ban. Megmutatták, hogy minden primoriális ritkán tóciens. Egy n természetes szám pontosan akkor ritkán tóciens, ha minden m > n természetes számra:

ahol az Euler-függvényt jelenti.

Erősen tóciens számok Az elgondolás hasonló, mint az erősen összetett számoké: egy erősen tóciens szám (highly totient number) olyan k egész szám, amire több megoldása van a

φ(x) = k

egyenletnek – φ az Euler-függvényt jelöli – mint bármely nála kisebb egésznek. Nagyobb a valenciája vagy multiplicitása, mint a nála kisebb számoknak.MathWorld: Totient Valence Function

Kotóciens Az szám kotóciense éppen . Értéke megegyezik az -nél nem nagyobb, -nel legalább egy közös prímtényezővel bíró számokéval.

A nonkotóciens számok azok a számok, melyek nem fordulnak elő semmilyen szám kotócienseként sem, tehát az m − φ(m) = n egyenletnek nincs megoldása m-re.

Erősen kotóciens számok

Egy erősen kotóciens szám (highly cototient number) olyan k>1 egész szám, amire több megoldása van a következő egyenletnek:

x − φ(x) = k,

mint bármely 1<n<k egész szám esetében, tehát ami több számnak kotóciense, mint bármely nála kisebb 1-nél nagyobb egész. Az egyenletben φ az Euler-függvényt jelöli. Mivel a k = 1 esetben az egyenletnek végtelen sok megoldása van, ezért ezt az értéket kihagyták a definícióból.

Egyéb Külföldön néha Euler's totient functionnak, azaz kb. „Euler annyiszoros-függvényének” nevezik, itt a totient szó a latin eredetű totiens (annyiszor(os), ahány) szóból származik, állítólag a quotiens („hányszoros”, azaz hányados, kvóciens) mintájára alkotta meg J. J. Sylvester 1879-ben: „The so-called φ function of any number I shall here and hereafter designate as its τ function and call its Totient.” . Néha a Gamma-függvényt is nevezik Euler-féle gammafüggvénynek. A Mathematica programban az EulerPhi függvénnyel számolható ki az értéke.

További információk Alice és Bob - 20. rész: Alice, Bob, Euler és Fermat Alice és Bob - 21. rész: Alice és Bob titkosít Alice és Bob - 26. rész: Alice és Bob átlépi a célvonalat

Jegyzetek

Kapcsolódó szócikkek Nontóciens számok

Kategória:Számelmélet Kategória:Számelméleti függvények