Egy konvex sokszög olyan egyszerű sokszög (saját magát nem metsző sokszög) melynek a határán lévő bármely két pontot összekötő egyenes szakasz a sokszög belsejében marad. Más megfogalmazásban olyan egyszerű sokszög, melynek belső része konvex halmaz.Definition and properties of convex polygons with interactive animation. A konvex sokszög minden belső szöge kisebb vagy egyenlő 180°-nál, míg a szigorúan konvex sokszög minden belső szöge kisebb 180°-nál.
Tulajdonságai Az egyszerű sokszögeknél a következő tulajdonságok mind egyenértékűek a konvexitással: Minden belső szög kisebb vagy egyenlő 180 foknál. A sokszög minden belső pontján vagy határán lévő bármely két pont közötti egyenes szakasz minden pontja a sokszög belsejében vagy határán marad. A sokszöget bármely oldalegyenese által definiált két félsík valamelyike teljesen tartalmazza. A sokszög belső pontjai mind a tetszőleges oldal által meghatározott egyenes ugyanazon oldalán fekszenek. Bármely csúcs által meghatározott szögön belül fekszik az összes többi csúcs is. A sokszög megegyezik éleinek konvex burkával.
A konvex sokszögek további jellemzői közé tartoznak: Két konvex sokszög metszete is konvex sokszög. Egy konvex sokszög lineáris időben háromszögekre bontható legyezőszerű felosztással, tehát valamely csúcs összes átlójának behúzásával. Helly-tétel: tekintsünk legalább három konvex sokszögből álló gyűjteményt. Ekkor, ha közülük bármely három metszete nem üres, akkor a teljes gyűjtemény metszete sem üres. Krein–Milman-tétel: egy konvex sokszög megegyezik csúcsainak konvex burkával. Tehát csúcsainak halmaza teljesen meghatározza a sokszöget, kizárólag a csúcsokból teljesen előállítható a teljes konvex sokszög. Hipersík-szeparációs tétel: Bármely két, közös ponttal nem rendelkező konvex sokszög közé elválasztó egyenes húzható. Ha a sokszögek zártak és legalább az egyik kompakt, akkor két párhuzamos egyenes is húzható, közöttük réssel. Beírt háromszög tulajdonság: a konvex sokszög által tartalmazott háromszögek között létezik egy olyan, maximális területű háromszög, melynek csúcsai az eredeti sokszögnek is csúcsai. Köré írt háromszög tulajdonság: minden A területű konvex sokszög köré rajzolható olyan háromszög, melynek területe legfeljebb 2A. Az egyenlőség kizárólag paralelogramma esetén lép föl. Beírt/köré írt téglalap tulajdonság: a sík bármely C konvex alakzatába beírható egy olyan r téglalap, hogy az r homotétikus kópiája, R a C köré van írva, és a pozitív homotétikus arány legfeljebb 2 és . Egy konvex sokszög átlagos szélessége megegyezik kerületének és a pínek a hányadosával. Tehát szélessége éppen annyi, mint a vele megegyező kerületű kör átmérője.
Minden körbe írt, önmagát nem metsző sokszög konvex. Azonban nem minden konvex sokszög körbe írható.
Szigorú konvexitás Az egyszerű sokszögeknél a következő tulajdonságok mind egyenértékűek a szigorú konvexitással:
Minden belső szög szigorúan kisebb 180 foknál. Bármely két belső pont közötti egyenes szakasz, vagy bármely két, a sokszög nem ugyanazon az oldalán fekvő határpont közötti egyenes szakasz a sokszög belsejében fekszik (kivéve esetleg a végpontjait). A sokszög bármely oldalára igaz, hogy a sokszög belső pontjai és az oldalon kívül eső határoló pontjai az oldal által meghatározott egyenes ugyanarra az oldalára esik. Minden csúcsnál lévő szög a belsejében tartalmazza az összes többi csúcsot (kivéve az adott csúcsot és két szomszédját).
Minden nem elfajult háromszög szigorúan konvex.
Kapcsolódó szócikkek Konkáv sokszög, egyszerű sokszög, ami nem konvex Konvex politóp Köréírt kör Beírt kör
Fordítás
Jegyzetek
További információk
http://www.rustycode.com/tutorials/convex.html
Kategória:Konvex geometria Kategória:Sokszögek