A matematikai analízisben a parciális integrálás egy olyan módszer, amely függvények szorzatának integrálját írja át a szorzatban szereplő függvények deriváltjának, illetve primitív függvényének használatával. A módszer gyakran leegyszerűsíti az integrandust abban az értelemben, hogy az integrálszámítást egyszerűbben végre lehet hajtani parciális integrálást követően.
Ha adott két függvény , illetve alakban, a parciális integrálás szabálya szerint az integrál a következőképp írható át:
.
Elméleti levezetése Legyen és két folytonosan differenciálható függvény. A szorzat deriváltjára vonatkozó szabály a következő:
.
Mindkét oldalt szerint integrálva kapjuk, hogy
.
A határozatlan integrál definíciója alapján az egyenlet a következőképp egyszerűsödik le:
,
ebből pedig következik, hogy:
.
Egy határozott integrál esetében az analízis alaptételét használva pedig a következő kifejezésre jutunk:
Alkalmazásai
A parciális integrálás heurisztikus, és nem mechanikus módszer integrálok kiszámítására. Csak bizonyos esetekben érdemes alkalmazni, amikor megkönnyíti a számítást. Továbbá nem mindig látszik első ránézésre, hogy melyik két függvényt érdemes -nek, illetve -nek választani.
Polinom- és trigonometrikus függvények szorzata Számítsuk ki -et, ahol
.
Legyen
.
Ezután alkalmazva a parciális integrálás szabályát:
,
ahol az integrálási állandó.
Konstanssal szorzott függvények
Számítsuk ki -et, ahol
.
Ebben a formában még nem egyértelmű, hogyan hasznosítható a parciális integrálás. A következőképp átírva:
,
már egy szorzat van az integrál alatt, és a következőképp választhatjuk -et és -et:
.
Ezután alkalmazzuk a parciális integrálás szabályát:
,
ahol az integrálási állandó.
Egy egyszerűbb példa a természetes logaritmusfüggvény:
.
Legyen
.
Ezután alkalmazzuk a parciális integrálás szabályát:
,
ahol az integrálási állandó.
Trigonometrikus függvények szorzata
Számítsuk ki -et, ahol
.
Legyen
.
Ezután alkalmazzuk a parciális integrálás szabályát, a azonossággal:
Tehát
.
ahol az integrálási állandó.
Jegyzetek
Fordítás
Források
https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Integration_by_parts
Kategória:Analízis