Ez a cikk az exponenciális függvény értékeinek numerikus kiszámításával foglalkozik.
Algoritmus Az exponenciális, , függvény Maclaurin-sora = 1 + x + + + ... + + ... A sor konvergens a teljes valós számhalmazon. A maradéktag = (0 < θ < 1), ahol a számláló kitevőjében a nagy theta jelölés szerepel. A maradéktag meredeken nő az x abszolút értékével, ezért lehetőleg kis értékek szerint kell a sorfejtést végezni. Ez elérhető a kitevő felbontásával egész- és törtrészre. Valóban, tetszőleges x érték felírható x = [x] + q, alakban, ahol [x] az x egészrésze és 0 ≤ q < 1 a törtrész, például: , . Tehát . Az első tényező egész kitevős hatvány, így értékét iterált szorzással kapjuk meg: , ha , illetve , ha , ahol az Euler-féle szám.
A sorfejtést tehát csak a második tényezőre kell kiszámolni:
Mivel q < 1, a fenti sorozat a fentieknek megfelelően gyorsan konvergál, és a maradéktag
Az tagok rekurrenciás kapcsolata: , .
Pszeudokód Az exponenciális függvényt számító algoritmus: function TaylorExp( in: x, ε out: T ) u ← 1 n ← 0 T ← 1 repeat u ← u*(x/n+1) T ← T + u n ← n + 1 until |u| < ε return T end function
Példa
Alkalmazásként határozzuk meg -t hibán belül. Ez esetben x = 1/2 tehát a rekurrenciás képlet: , , k=(1, 2, . . .) +unTn01110.51.520.1251.62530.02083333333331.6458333333340.002604166666671.648437550.0002604166666671.6484979166762.17013888889e-051.6487196180671.55009920635e-061.6487211681589.68812003968e-081.65872126504 A pontos érték 1.6487212707...
Források
Lázár Zsolt, Lázár József, Járai-Szabó Ferenc: Numerikus módszerek, Kolozsvári Egyetemi Kiadó, 2008
Kategória:Numerikus analízis