A matematikában a Csebisev-polinomok olyan ortogonális polinomsorozatok, melyek kapcsolatban állnak a De Moivre képlettel, és amelyeket rekurzív módon lehet definiálni. Nevüket Pafnutyij Lvovics Csebisev orosz matematikus után kapták. Általában különbséget tesznek elsőfajú Csebisev-polinomok (jelölés ), illetve másodfajú Csebisev-polinomok között (jelölés ).
A , és az Csebisev-polinomok n-ed fokúak, és bármelyik fajta Csebisev-polinomok sorozata polinomsorozatot alkot.
A Csebisev-polinomok a lehető legnagyobb vezető együtthatóval rendelkeznek, figyelembe véve azt a tényt, hogy abszolút értékük a [-1,1] intervallumon kötve van az 1 által.
A Csebisev-polinomok fontos szerepet játszanak a közelítő módszerek elméletében, mivel az elsőfajú Csebisev-polinomok gyökeit, melyeket Csebisev-csomópontoknak is hívnak, csomópontokként használják a polinomiális interpolációnál. Az így kapott interpolációs polinom minimalizálja a Runge-hatásból származó problémát.
A differenciálegyenletek területén a Csebisev-differenciálegyenletek megoldásaként találunk rájuk:
és
Az első egyenletből kapjuk -t, míg a másodikból -t. Ezek az egyenletek a Sturm-Liouville differenciálegyenletek speciális esetei.
Definíciók
bélyegkép|Az első öt típusú Csebisev-polinom ábrázolása bélyegkép|Az első öt típusú Csebisev-polinom ábrázolása
Az elsőfajú Csebisev-polinomokat a következő rekurenciás összefüggés definiálja:
A megszokott generátorfüggvény -re:
Az exponenciális generátorfüggvény:
A kétdimenziós potenciálelmélet területén releváns generátorfüggvény:
A másodfajú Csebisev-polinomokat a következő rekurenciás összefüggés definiálja:
A megszokott generátorfüggvény -re:
Az exponenciális generátorfüggvény:
Kapcsolatok az első- illetve másodfajú Csebisev-polinomok között Az első- illetve másodfajú Csebisev-polinomok megfelelnek a Lucas sorozat egy kiegészítő párjának és , és paraméterekkel:
Két kölcsönös rekurenciás összefüggést is kielégítenek:
Az első- illetve másodfajú Csebisevpolinomokat a következő összefüggések is összekapcsolják:
Explicit kifejezések A Csebisev-polinomok meghatározásának különböző megközelítései különböző explicit kifejezésekhez vezetnek, mint például:
ahol a szummajel alapja azt jelzi, hogy a hozzájárulását felezni kell, ha megjelenik.
ahol hipergeometrikus függvény.
Példák
Elsőfajú bélyegkép|300x300px|Az első néhány elsőfajú Csebisev-polinom a intervallumon: , , , , és .
Az első néhány elsőfajú Csebisev-polinom
Másodfajú bélyegkép|300x300px|Az első néhány másodfajú Csebisev-polinom a intervallumon: , , , , és . Bár nem látható a képen, de és .
Az első néhány másodfajú Csebisev-polinom
Források
Kategória:Polinomok Kategória:Analitikus függvények