A Galjorkin-módszer a matematikában, a numerikus analízis területén, olyan módszerek csoportja, amely egy folytonos feladatot diszkrét feladattá alakítja át (például egy differenciálegyenlet esetén). Elméletileg egyenértékű egy függvénytéren belül a paraméterek variálási módjának alkalmazásával. Tipikusan az egyik akkor alkalmaz bizonyos korlátokat a függvénytéren belül, ha a tér véges. A Galjorkin-módszer hatékony numerikus megoldást nyújt a differenciálegyenletek megoldásánál és a modális elemzés során.
A megközelítés Borisz Grigorjevics Galjorkin nevéhez fűződik, de a módszert Walther Ritz fedezte fel.
Példák Galjorkin-módszerre: a Galjorkin-módszer súlyozott maradéka a leggyakoribb számítási módszere a globális merevségi mátrixnak és véges elem módszernek a határelem-módszer az integrált egyenletek esetén Krilov-féle iteratív módszerek
Bevezetés absztrakt problémával
A feladat gyenge alakja Bemutatjuk a Galjorkin-módszert egy absztrakt feladaton, amely gyenge feladatként jelenik meg egy -vel jelölt Hilbert-téren, azaz és .
Itt az egy bilineáris forma (pontos követelmények szerint az később kerül meghatározásra) és az egy korlátos lineáris funkcionál a téren.
Dimenziócsökkentés Választunk egy alrendszert, ami az dimenziós térből van, mely megoldja a feladatot: keresünk egy -et, amire teljesül, hogy .
Ezt Galjorkin-egyenletnek nevezzük. Vegyük észre, hogy az egyenlet maga változatlan marad, csak a terek változtak meg. Ez a véges dimenziós altérbe való redukció lehetővé teszi az -nek a altér bázisvektorainak véges lineáris kombinációként való numerikus kiszámítását.
Galjorkin-ortogonalitás A Galjorkin-féle megközelítés kulcsfontosságú tulajdonsága, hogy a hiba ortogonális a kiválasztott alterekre. Mivel , használni tudjuk -t mint tesztvektort az eredeti egyenletben. A két egyenlet egymásból való kivonásával megkapjuk a Galjorkin-féle ortogonalitási relációt az , ahol az eredeti feladat, míg az a Galjorkin-egyenlet megoldása:
Mátrix formátum Mivel a Galjorkin-módszer célja a lineáris egyenletrendszerek megoldása, így a mátrix formáját építjük fel, melynek segítségével a megoldást a számítógépes program határozza meg.
Veszünk egy bázist a vektortérből. Ezután elegendő ezeket a Galjorkin-egyenletek teszteléséhez használni, oly módon hogy
Ennek alapján bővítjük -t, úgy hogy , melyet felhasználva a fenti egyenlet: lesz.
Ez egy lineáris egyenletrendszer, mely a következőképpen írható: , ahol
A mátrix szimmetriája A mátrix tulajdonságai alapján a Galjorkin-egyenlet mátrixa is szimmetrikus, akkor és csak is akkor ha a billineáris forma ( ) is szimmentrikus.
Galjorkin módszerek elemzése Itt használjuk a bilineáris formát, vagyis Ez valójában nem korlátozza a Galjorkin-módszereket, de a standard elmélet alkalmazása egyszerűbbé válik. Ezen kívül a nemszimmetrikus esetekben a Petrov-Galjorkin módszerre lehet szükség.
A módszerek elemzése két lépésben történik: Meg kell mutassuk hogy a Galjorkin-egyenlet Hadamard értelemben egy jól körülhatárolt feladat, ezért egyedülálló megoldást jelent Tanulmányozzuk a Galjorkin-megoldás közelítését Az elemzés többnyire a billineáris forma két tulajdonságára korlátozódik: Határozottság: minden tart az -hoz, a C állandón keresztül (C>0)
Ellipticitás: minden tart az -hoz a c állandón keresztül (c>0) A Lax-Milgram-tétel szerint ez a két feltétel az eredeti feladat jó helyzetét fogalmazza meg. A fent megjelent normákat gyakran energia-normáknak is nevezik.
A Galjorkin-egyenlet pozitivitása A a bilineáris forma hatására az ellipticitása . Ezért a Galjorkin-probléma tulajdonképpen az eredeti probléma jól megfogalmazott öröksége.
Legnagyobb közelítés (Céa-Lemma) Az eredeti hiba és a Galjorkin-megoldás között felírható a következő összefüggés:
Ez azt jelenti hogy a állandó, és a Galjorkin-megoldás () olyan közel áll az eredeti megoldáshoz (), hogy mindkettő a belül helyezkedik el.
Próba Mivel a bizonyítás nagyon egyszerű, az alapelv a Galjorkin-módszerek mögött a bilineáris forma ellipticitásával határolható, vagyis :
Elosztva a értékkel, a lehető legkevesebb hozza létre a lemmát.
Lásd még Ritz-módszer
Jegyzetek
Külső hivatkozások
Kategória:Numerikus analízis