A fizikában, pontosabban a termodinamikában a Robert Mayer-egyenlet megadja az izochor és izobár mólhők közötti összefüggést. Ezt ideális gáz esetén Julius Robert von Mayer vezette le a XIX. században.
A Robert Mayer-egyenlet: ahol: az anyagmennyiség, az egyetemes gázállandó, az állandó nyomáson értelmezett moláris hőkapacitás, az állandó térfogaton értelmezett moláris hőkapacitás.
Egy mól ideális gáz esetén a kétféle moláris hőkapacitás közötti különbség az egyetemes gázállandó értékével egyenlő.
J/mol·K' A Robert Mayer-egyenlet általánosítása
Abban az esetben, ha a gáz nem ideális, másképp néz ki az állapotegyenlete . A termodinamika második főtétele bevezeti az entrópiát, mint állapotfüggvényt, amelynek segítségével általánosítható a Robert Mayer-egyenlet bármilyen fluidumra. Ezért a feladat visszavezetődik a mólhők kifejezésére az entrópia segítségével. Ezeket a következőképpen fejezhetjük ki: Tekintsük az entrópiát kétváltozós függvénynek, amely a hőmérséklettől és a térfogattól függ: Parciálisan deriválva a hőmérséklet szerint, alkalmazva a láncszabályt:, Beszorozva a hőmérséklettel és alkalmazva a mólhők definícióját:
Felhasználva a Szabadentalpia differenciális kifejezéseinek egyikét:
Ehhez az egyenlethez jutunk, amelyet a Robert Mayer-egyenlet általánosításának nevezünk:
ahol: a nyomás, a hőmérséklet, a térfogat. Látható, hogy az egyenlet jobb oldalán csak olyan mennyiségek szerepelnek, amelyek az állapotegyenletből fejezhetőek ki, ezért ha ez ismert, belőle ki lehet fejezni a szükséges mennyiségeket. Sajátos esetben ideális gázra is ismert a Gáztörvény, ebből kifejezve a megfelelő parciális deriváltakat a Robert Mayer-egyenlethez jutunk.
Ideális gáz Az általános Robert Mayer-egyenletből kiindulva, a feladat az állapotegyenletből a megfelelő parciális deriváltak kifejezése. Az állapotegyenlet jelen esetben a Gáztörvény:
Kifejezve a nyomást, illetve a térfogatot a hőmérséklet függvényében:
Tudva, hogy az Anyagmennyiség állandó, kifejezve a parciális deriváltakat: Behelyettesítve az általános összefüggésbe: Felhasználva az állapotegyenletet és egyszerűsítve:
Reális gáz Hasonlóan az ideális gáz esetéhez, felhasználva a reális gázt leíró állapotegyenletet, kifejezve a megfelelő parciális deriváltakat, eljutunk a reális gázra jellemző Robert Mayer-egyenlethez. A számítások egyszerűsítése érdekében legyen az anyagmennyiség 1mól. Ebben az esetben az állapotegyenlet a Van der Waals-egyenlet:
Kifejezve a nyomást:
Tudva, hogy az állapotegyenlet felfogható egy háromváltozós függvényként:, fennállnak rá a következő összefüggések: Kifejezve a nyomás megfelelő parciális deriváltjait: Behelyettesítve az általános összefüggésbe: Tudva, hogy az izoterm kompresszibilitási együttható:( ideális gáz esetén ),
Az izobár hőtágulási együttható: ( ideális gáz esetén,),
Az izochor nyomástényező: (ideális gáz esetén .
A Robert Mayer-egyenlet felírható ezek segítségével is: .
Mivel az izoterm kompresszibilitási együttható mindig pozitív, a fenti egyenletből látszik, hogy: .
Ebből következik, hogy az adiabatikus kitevő minden esetben.
Források Șerban Țițeica, Termodinamica, Editura Academiei, București, 1982 H. B. Callen, Thermodynamics and an Introduction to Thermostatistics, J.Wiley & Sons 1960, Filep Emőd, Néda Árpád, Hőtan'', Ábel Kiadó, Kolozsvár, 2003
Kategória:Termodinamika