A Csebisev-egyenlőtlenség a valószínűségszámítás egyik egyenlőtlensége. Nevét Pafnutyij Lvovics Csebisev orosz matematikusról kapta. Lényege, hogy jelentőséget ad a szórásnak, azaz arra ad becslést a szórás felhasználásával, hogy egy valószínűségi változó mekkora eséllyel tér el egy előre adott mértéknél jobban a várható értéktől.
Állítás Formálisan, legyen véges szórású valószínűségi változó, várható értéke
és szórásnégyzete . Ekkor a valós számokra . A komplementer eseményre .
A becslés jósága A Csebisev-egyenlőtlenség éles abban az értelemben, hogy vannak valószínűségi változók, amelyekre a becslés egyenlőséggel teljesül.
Legyen például diszkrét valószínűségi változó, és
továbbá ,
ahol egy pozitív szám, és . Ekkor és , így a becslés
ami esetén egyenlőséggel teljesül, mivel ekkor .
Általában a becslés nem sokat mond. Például, ha , akkor a becslés triviális. A tétel mégis gyakran hasznos, mivel ehhez nem kell ismerni az eloszlást, és minden véges szórású valószínűségi változóra alkalmazható, még a normális eloszlástól távol állókra is. A korlátok is egyszerűen meghatározhatók.
Változatok Standard eltéréssel Ha a standard eltérés nem nulla, és pozitív, akkor a helyettesítéssel az egyenlőtlenség gyakran idézett alakját kapjuk: .
Ez csak esetén ad érdemi becslést, mivel a esetben triviális, hiszen a valószínűségek sosem nagyobbak 1-nél. Magasabb momentumokra Az egyenlőtlenség magasabb momentumokra is általánosítható. Ezt nem ritkán szintén Csebisev-egyenlőtlenségnek nevezik,Robert B. Ash: Real Analysis and Probability. 1972, S. 84–85 & S. 227 A valószínűségszámításban ez inkább Markov-egyenlőtlenségként ismert.A. N. Širjaev: Wahrscheinlichkeit. 1988, S. 572R. G. Laha, V. K. Rohatgi: Probability Theory. 1979, S. 33 Néhány szerző a Csebisev-Markov elnevezést használja.Heinz Bauer: Maß- und Integrationstheorie. 1992, S. 128
Az egyenlőtlenség azt mondja, hogy ha mértéktér, mérhető függvény, és , akkor teljesül, hogy: .
Ez következik abból, hogy:
Ebből speciális esetben adódik az eredeti egyenlőtlenség, ha , és , akkor :.
Példák 1. példa A példa kedvéért tegyük fel, hogy egy Wikipédián a cikkek hosszának várható értéke 1000 bájt, a szórás 200 bájt! Ekkor a Csebisev-egyenlőtlenség szerint a cikkek legalább 75%-ának hossza 600 és 1400 közé esik ().
A számítás:
2. példa Az egyenlőtlenség egy másik alkalmazása az, hogy ha egy véges szórású valószínűségi változó várható értéke és szórása , akkor az értékek fele az intervallumba esik. 3. példa Egy véletlen esemény valószínűséggel következik be. A kísérletet -szer végzik el, az esemény -szor következik be. Ekkor binomiális eloszlású, várható értéke , szórásnégyzete ; a bekövetkezés relatív gyakorisága , ennek várható értéke és szórásnégyzete . A Csebisev-egyenlőtlenség szerint a relatív gyakoriság eltérése a várható értéktől ,
ahol a második becslést a számtani és mértani közepek egyenlőtlenségéből következő adja.
Ez a forma már a nagy számok gyenge törvényének speciális esete, ami a relatív gyakoriságok sztochasztikus konvergenciáját mutatja a várható értékhez.
Ennél a példánál a Csebisev-egyenlőtlenség csak durva közelítést ad, pontosabb becslést a Chernoff-egyenlőtlenség szolgáltat.
Alkalmazások Felhasználják a Borel-Cantelli-lemma és a nagy számok gyenge törvényének bizonyításában.Heinz Bauer: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2002, S. 69 ff Az általánosítással megmutatható, hogy a függvénysorozatok értelemben vett konvergenciájából következik a mérték szerinti konvergencia. Az mediánra igaz, hogy .
Bizonyítása A legtöbb szerző a Markov-egyenlőtlenségből vezeti le. A Markov-egyenlőtlenség
ahol és .
Önálló bizonyítás található például Wirthsnél.H. Wirths: Der Erwartungswert – Skizzen zur Begriffsentwicklung von Klasse 8 bis 13. In: Mathematik in der Schule 1995/Heft 6, S. 330–343 Legyen . és jelölje az halmaz indikátorfüggvényét. Ekkor minden esetén teljesül az
egyenlőtlenség.
Ha , akkor a jobb oldal nulla, és az egyenlőtlenség teljesül. Ha , akkor definíció szerint a bal oldalon az halmaz definíciója szerint tartalmaz legalább egy értéket, így az egyenlőtlenség megint teljesül. A várható érték monotonitása miatt és a vele való számolás szabályai miatt a szórásnégyzet írható, mint .
-tel osztva az egyenlőtlenség az állításban megadott alakot ölti.
Története Csebisev a diszkrét valószínűségi változókra bizonyította a tételt, és ezt 1867-ben jelentette meg Szentpéterváron és Párizsban, ott Joseph Liouville újságjában, aminek címe Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. Azonban egy általánosabb bizonyítás már 1853-ban megjelent Irénée-Jules Bienaymé tollából, a Considérations a l’appui de la découverte de Laplace sur la loi de probabilité dans la méthode des moindres carrés. című lapban. Ez nem sokkal Csebisev cikkének megjelenése előtt újra közölte a cikket, és Csebisev elismerte Bienaymé elsőbbségét.
Jegyzetek
Fordítás
Kategória:Valószínűségszámítás