A kumulánsok a valószínűségszámításban és statisztikában a valószínűségi változókhoz rendelt mennyiségek. Független valószínűségi változók esetén egyszerű velük számolni. Sorozatuk a várható értékkel és a szórásnégyzettel kezdődik. Definíció Ha az valószínűségi változó momentumgeneráló függvénye , azaz

akkor a

függvény az kumulánsgeneráló függvénye.

Az -edik kumulánst jelöli, és definíciója . A karakterisztikus függvény segítségével is definiálhatók:

ahol a karakterisztikus függvény. Tulajdonságok Eltolásinvariancia A kumulánsokat a sűrűségfüggvény szemiinvariánsainak is tekintik, azaz kivételével nem változnak a várható érték eltolásával együtt. Kegyen valószínűségi változó, ekkor tetszőleges konstansra:

Homogenitás Az -edik kumuláns -edfokban homogén, azaz ha tetszőleges konstans, akkor:

Additivitás Legyenek és független valószínűségi változók, ekkor az valószínűségi változóra:

Független valószínűségi változók esetén a karakterisztikus függvények szorzódnak,

ebből a logaritmus összeget csinál:

Ha a független valószínűségi változók száma , és a valószínűségi változók , akkor

Normális eloszlás Tekintsünk egy normális eloszlást, aminek várható értéke , szórásnégyzete ! Ekkor karakterisztikus függvénye , így kumulánsai: für . Minden 2-nél nagyobb rendű kumuláns nulla. Ez azonosítja a normális eloszlást.

Megmutatható, hogy: vagy az első két kumulánst követő összes többi nulla vagy pedig végtelen sok nem nulla kumuláns van. Másként, az kumulánsgeneráló függvény nem lehet 2-nél magasabb fokú polinom. Kumulánsok és momentumok Kumulánsok mint a momentumok függvényei Jelölje egy valószínűségi változó -edik momentumát ! -val kifejezhető , mint

Az első néhány kumuláns a momentumok segítségével:

Általában, az összefüggés a következő rekurzióval fejezhető ki:

Egy alternatív kifejezési mód Faà di Bruno képlete, ami a momentumok mellett a Bell-polinomokat is felhasználja: .

A centrális momentumokkal a képletek egyszerűbbek:

Az első két kumuláns külön jelentéssel bír: a várható érték, a szórásnégyzet. A negyediktől kezdve a kumulánsok és a momentumok nem esnek többé egybe. A kumulánsok levezetése Az függvényt körül hatványsorba fejtjük:

Ebbe helyettesítjük hatványsorát:

A helyettesítést elvégezve:

A hatványai szerint rendezve kapjuk a kumulánsokat:

Momentumok kifejezése kumulánsokkal Az -edik momentum az első kumuláns -edfokú polinomja. Az első hat momentum:

Az együtthatókat Faà di Bruno képlete adja meg. Általában, az -edik momentum a teljes Bell-polinom értéke az helyen: .

A centrális momentumok kifejezéséhez a kumuláns nullának tekintendő:

Kumulánsok és partíciók A momentumokat a kumulánsok segítségével kifejező polinomok kombinatoikailag is értelmezhetők: együtthatóik halmazpartíciókat számlálnak. A polinomok általános képlete

ahol: befutja egy elemű halmaz partícióit; "" azt jelenti, hogy a partíció egy blokkja a blokk mérete Több dimenzióban Az X1, ..., Xn valószínűségi változók közös kumulánsai szintén kumulánsgeneráló függvénnyel generálhatók:

Az egy dimenziós esethez hasonlóan ennek is van kombinatorikai jelentése:

ahol: befutja egy elemű halmaz partícióit; "" azt jelenti, hogy a partíció egy blokkja a blokk mérete

Például

Ez a kombinatorikai összefüggés a kumulánsok és momentumok között egyszerűbb alakot nyer, hogyha a momentumokat kumulánsokkal fejezzük ki:

Ekkor például:

Az első kumuláns a várható érték, két valószínűségi változó közös második kumulánsa a kovarianciájuk. Független valószínűségi változók vegyes kumulánsai eltűnnek. Ha a valószínűségi változók ugyanazok, akkor a kumuláns ugyanaz, mint közönséges kumulánsa.

További fontos tulajdonság a multilinearitás a valószínűségi változókban:

Szabad kumulánsok A fenti kombinatorikus

momentum-kumuláns képlet végigfut az halmaz partícióin. Ha ehelyett csak a nem keresztező partíciókat számoljuk, akkor a szabad kumulánsokhoz jutunk. Roland Speicher vezette be őket.Speicher, Roland (1994), "Multiplicative functions on the lattice of non-crossing partitions and free convolution", Mathematische Annalen, 298 (4): 611–628

Alkalmazások A továbbiakban adva legyenek független, azonos eloszlású valószínűségi változók! Centrális határeloszlás-tétel Az valószínűségi változóra a homogenitás és additivitás felhasználásával a következő kumulánsok adódnak:

Mivel a rend az egyenkénti rendek összege, adódik az nagyságrend. Az első kumulánsok nagyságrendjei:

esetén az rendje negatív kitevőt kap, így a határérték végtelen sok valószínűségi változóra:

Azaz csak az első két kumuláns marad, ami éppen a normális eloszlásra jellemző. Emiatt tetszőleges valószínűségi változók összege osztva a tagok számának négyzetgyökével normális eloszláshoz tart. Ez a centrális határeloszlás-tétel. A bizonyítás befejezéséhez még fel kell használni a karakterisztikus függvény néhány tulajdonságát is.

A centrális határeloszlás tétele miatt a normális eloszlás szerepe különleges, mivel ha valamire sok, független, egyenként kevés hatással bíró hatás működik, akkor a hatások összessége normális eloszlással közelíthető.

Speciális esetben , várható értéke nulla, szórásnégyzete , magasabb momentumai tetszőlegesek. Ekkor

A

valószínűségi változóra alkalmazható a magasabb momentumok eltolásinvarianciája, ami csak a várható értékre hat. A különbség az, hogy várható értéke nulla, még akkor is, ha az várható értéke nem tűnik el.

Nagy számok tétele Az

valószínűségi változóra a homogenitás és additivitás felhasználásával a követklező kumulánsok adódnak:

A kumulánsok nagyságrendjei rendre lesznek. Az első kumulánsok nagyságrendjei:

esetén az rend nagy negatív kitevőt kap, így határértékben:

Csak az első kumuláns, illetve momentum marad. Növekvő -nel normális eloszlást közelít, aminek várható értéke:

ahol a szélesség rendű, és esetén elfajult eloszlást jelent -nél.

Legyen például valószínűségi változó várható értékkel, szórásnégyzettel és tetszőleges további momentumokkal.

Ezzel az valószínűségi változó várható értéke ugyanaz, mint az valószínűségi változóé, azaz az várható értékben hű becslése. A növekvő -re csökkenő szórás értéke .

Története A kumulánsokat először Thorvald Nicolai Thiele dán matematikus írta le egy 1889-ben dánul megjelent könyvben.Thorvald Nicolai Thiele: Forelæsninger over almindelig Iagttagelseslære: Sandsynlighedsregning og mindste Kvadraters Methode, Kopenhagen 1889. Habár a könyvet a Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik is hivatkozta,Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik JFM 21.0210.01 . az eredményekre nem figyeltek fel. Így Felix Hausdorff 1901-ben újra bevezette őket.Felix Hausdorff: Gesammelte Werke, Band V: Astronomie, Optik und Wahrscheinlichkeitstheorie. 2006, , S. 544, 577.

A szabad valószínűségszámításban hasonló szerepet töltenek be, mint a közönséges kumulánsok a közönséges valószínűségszámításban. Például a szabad valószínűségi változók összegének szabad kumulánsai is összegződnek. A normális eloszlás szerepét a Wigner-féle félköreloszlás veszi át, ennek csak a második szabad kumulánsa különbözik nullától. Jegyzetek

Források Jörg Bewersdorff: Statistik – wie und warum sie funktioniert. Ein mathematisches Lesebuch. Vieweg+Teubner Verlag 2011, , , S. 68–70. Crispin W. Gardiner: Stochastic methods: a handbook for the natural and social sciences. Springer, 2009. , S. 33–35. M. Abramowitz, I. A. Stegun: Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Dover, 1965. Fordítás

Kategória:Valószínűségszámítás