A rangkorreláció vagy rangkorrelációs együttható a valószínűségszámításban valószínűségi változók közötti kapcsolatot vizsgál a korrelációhoz hasonlóan. Az összefüggést tetszőleges monoton függvény szerint képes vizsgálni, eloszlásuk vizsgálata nélkül.
A korrelációval szemben a rangkorreláció nemcsak lineáris kapcsolatot tud leírni, továbbá a kilógó adatok sem zavarják.
Közelebbről két rangkorrelációs együtthatót használnak: az egyik a Spearman-rhó, a másik a Kendall-tau. Több megfigyelő észlelései közötti összefüggés vizsgálatára alkalmas a W konkordanciaegyüttható. Számítása mérésből álló párral kezdünk, jelölje ezeket . A rangkorreláció minden értékhez relatívan meghatároz egy ragot a többi értékkel szemben, azaz hozzárendel egy számot közül. Ezután kezelhetők ezek a számok úgy, mintha egyenletes eloszlásból származnának. Ha minden különböző, akkor minden szám egyszer fordul elő. Ha vannak köztük egyenlőek, akkor a középső értéket kapják, mint amit akkor rendelnének hozzájuk, ha mind különbözőek lennének. Ekkor kapcsolatokról, vagy döntetlenekről beszélnek.lásd Fahrmeir et al. (2004): Statistik, S. 142 Ez a szám lehet egész, vagy félegész. Mindkét esetben a számok összege ugyanannyi, azaz 1-től -ig, vagyis .
Ugyanezt elvégzik az értékekkel is, mindegyiket az -kkel szembeni rangjával helyettesítik.
Az intervallumskálázott adatok helyettesítésével információt vesztünk, számítása azonban értelmes lehet robusztussága miatt. Ez azt jelenti, hogy kevésbé érzékeny a kilógó adatokra és a hibákra, ahogy a medián is kevésbé érzékeny ezekre, mint az átlag. Rangsorok közötti kapcsolat felderítésében a rangkorrelációnak nincs alternatívája. Spearman-rangkorreláció
A Spearman-rangkorrelációt Charles Spearman után nevezték el, és gyakran a ρ betűvel illetve -sel jelölik.
Elméletben ρ a Pearson szorzat-momentum-korreláció speciális esete, ahol az adatokat ranggá konvertálják, mielőtt kiszámítják a rangkorrelációt:
Ahol az rangja, az rangjainak középértéke, az rangjainak tapasztalati szórása, és kovarianciája. Speciális esetek A gyakorlatban inkább egy egyszerűbb képletet használnak, ami akkor ad helyes eredményt, ha minden rang különbözik.
A nyers adatokat konvertálják, és minden párra kiszámítják a különbséget, jelben . Ezzel a ρ
ahol az értékpárok száma.
Ellenben ha vannak egyező értékek, ez a képlet nem ad pontos eredményt, de ha nem sok helyen azonosak az értékek, akkor az eltérés kicsi. A pontos eredményt egy bonyolultabb képlet adja:Horn, D. (1942): A correction for the effect of tied ranks on the value of the rank difference correlation coefficient. In: Educational and Psychological Measurement, 3, 686–690.
ahol .; az azonos rangú megfigyelések száma, továbbá vagy helyett áll. Példák Első példa Például vizsgáljuk különböző emberek magasságát és testsúlyát. A magasságok 175 cm, 178 cm és 190 cm; a testsúlyok rendre 65 kg, 70 kg és 98 kg.
Ebben az esetben maximális rangkorreláció adódik, mivel a legkisebb ember a legkönnyebb és a legnagyobb ember a legnehezebb. Ha fordítva lenne, akkor a rangkorreláció is kicsi lenne. A rangkorreláció számszerűen fejezi ki az összefüggést két rangsor között. Második példa Adva legyenek megfigyelések két változóról, a-ról és b-ről: {|class="wikitable" ! i ! 1 ! 2 ! 3 ! 4 ! 5 ! 6 ! 7 ! 8 |- align="right" ! |2,0 |3,0 |3,0 |5,0 |5,5 |8,0 |10,0 |10,0 |- align="right" ! |1,5 |1,5 |4,0 |3,0 |1,0 |5,0 |5,0 |9,5
A rangok meghatározására rendezik az értékeket, és normálják, azaz egyező értékek esetén középértéket vesznek. Ezután helyreállítják az eredeti sorrendet, hogy képezhessék a különbségeket. Bemenet Rendezés(érték) Rang Rendezés(index)
Az adatokból a következő köztes eredmény adódik:
a értékei b értékei a rangjai b rangjai 2,0 1,5 1,0 2,5 −1,5 2,25 3,0 1,5 2,5 2,5 0,0 0,00 3,0 4,0 2,5 5,0 −2,5 6,25 5,0 3,0 4,0 4,0 0,0 0,00 5,5 1,0 5,0 1,0 4,016,00 8,0 5,0 6,0 6,5 −0,5 0,25 10,0 5,0 7,5 6,5 1,0 1,00 10,0 9,5 7,5 8,0 −0,5 0,25
A táblázat a értékei szerint vannak rendezve. Fontos, hogy az értékekhez rangok legyenek rendelve. A sorban kétszer jelenik meg a 3 érték, rangjuk az átlagos (2+3)/2 = 2,5. Ugyanez történik a b adatsornál is.
Werte von a Werte von b 2,0 1,5 1 0 2 6 3,0 1,5 2 6 - - 3,0 4,0 - - 1 0 5,0 3,0 1 0 1 0 5,5 1,0 1 0 1 0 8,0 5,0 1 0 2 6 10,0 5,0 2 6 - - 10,0 9,5 - - 1 0
A Horn-korrekcióval
adódik. A szignifikancia meghatározása Teszt szempontjából a érték vizsgálata, hogy nullától különbözik-e, permutációteszt. Kiszámítják annak a valószínűségét is, hogy értéke legalább akkora-e, mint ahogy azt a nullhipotézis megjósolja.
Ezt a módszert használhatják viszonylag kis adathalmazokon, amiken egyszerűen létrehozhatók a nullhipotézist valószínűsítő permutációk. Kendall-tau Szemben a Spearman-rhóval, a Kendell-tau a rangok közötti különbséget használja fel. Rendszerint a értéke kisebb, mint a értéke. A együtthatót érdemes intervallumskálázott adatokra használni, ha nem normális eloszlásúak, a skálák egyenetlen beosztásúak vagy a szúrópróba mérete kicsi. Kiszámítása A számításához tekintjük az szerint rendezett és párokat, ahol és ; továbbá
Az első párt az összes többivel összehasonlítjuk, a második párt az első kivételével mindegyikkel, és így tovább, az utolsót nem hasonlítjuk össze egyikkel sem. Tehát páronkénti összehasonlítást végzünk.
A következőket állapítjuk meg a párokról:
Ha és , akkor konkordáns. Ha és , akkor diszkordáns. Ha és , akkor kötés van -ban. Ha és , akkor kötés van -ben. Ha és , akkor kötés van -ben és -ban.
Megszámoljuk a különböző párokat:
A konkorodánsok száma , a diszkordánsok száma , az -beli kötések száma , pontosabban a kötésben lévő, Y beli elemekből képezhető, nem rendezett adatpárok száma az -beli kötések száma , és az -beli és -beli kötések száma .
A Tx ill. Ty kiszámítása: Jelölje ti a kötésben lévő (azonos) elemek i. csoportjának darabszámát az X halmazban. (pl. az X={1,2,2,5,3,8,8,8,2,9,8} adatsorban két ismétlődő adatcsoport van a "2" 3 alkalommal fordul elő, tehát t1=3, míg a "8" 4 alkalommal, tehát t2=4, további kötések nincsenek.) A fenti adatsorra tehát Tx= ( 3*(3-1) + 4*(4-1) ) /2 = 9
Ty hasonlóan számolható az Y halmazra vonatkozóan.
A Kendall- a konkordáns és a diszkordáns párok számát hasonlítja össze:
Ha pozitív, akkor több konkordáns pár van, mint diszkordáns. Ami azt jelenti, hogy ha , akkor valószínűbb, hogy . Ha negatív, akkor a diszkordáns párokból van több, vagyis ha , akkor az a valószínűbb, hogy . Az normálja a Kendall- értékét, így
Tesztben Tekintve egy valószínűségi változót, Kendall belátta, hogy ha a tesztben vs. , akkor a nullhipotézis teljesülése esetén eloszlása approximatívan normális: . Az approximációs tezt mellett permutációteszt is végezhető. További tau együtthatók Kendall a fent definiált számértékek felhasználásával további három együtthatót definiált:
(lűsd fenn)
A csak akkor alkalmazható, ha nincsenek kötések. A nem négyzetes kontingenciatáblákon nem érheti el a illetve szélsőértékeket. Nem veszi figyelembe az -ben és -ban levő kötéseket. Négypróbás tesztekben egyezik a együtthatókkal, és ha két, csak 0 és 1 értékeket felvevő valószínűségi változókat vizsgálunk, akkor a Pearson-korrelációval is. Tetra- és polichorikus korreláció A Likert-skálával kapcsolatban gyakran tetra- illetve polichorikus korrelációt számolnak. A tetrachorikus korrelációt bináris adatokhoz használják. Az alaphipotézis az, hogy a válaszadók valamilyen mérték szerint adtak választ arra, hogy szerintük mi mennyire teljesül rájuk.
A megfigyelt ordinális változók mögött többnyire folytonos változók állnak. A nem megyfigyelt változók közötti kapcsolatot tetra- és polichorikus korrelációk fejezik ki.
Használata akkor javallott, ha a Likert-itemek esetén kevesebb, mint hét.D. J. Bartholomew, F. Steele, J. I. Galbraith, I. Moustaki (2002): The Analysis and Interpretation of Multivariate Data for Social Scientists, Chapman & Hall/CRC A gyakorlatban ehelyett a Bravais-Pearson-korrelációval dolgoznak, ám megmutatható, hogy ezzel alábecsülik a korrelációt.K. G. Jöreskog, D. Sorbom (1988): PRELIS, a program for multivariate data screening and data summarization. Scientific Software, Mooresville Becslési módszerek Feltéve, hogy a valószínűségi változók páronként kétváltozós normális eloszlásúak, a maximum-likelihood-módszerrel becsülhető a meg nem figyelt valószínűségi változók közötti korreláció. Ennek két módja van:
Egylépéses módszer: Az ismeretlen korreláció és az ismeretlen intervallumhatárok a maximum-likelihood-függvény paraméterei; azaz egyetlen lépésben becslik őket.
Kétlépéses módszer: Először az intervallumhatárokat becslik azzal a feltevéssel, hogy az változók eloszlása normális. A második lépésben kerül sor a korrelációra. A tetrachorikus korreláció approximációs képlete \ 0 1 0 1
Két bináris változó esetén a tetrachorikus korreláció közelíthető úgy, mint
ahol a jelölések a jobb oldalon látható kereszttáblázat szerintiek.
Egy korreláció pontosan akkor fordul elő, ha . Hasonlóan, a érték pontosan akkor fordul elő, ha . Jegyzetek
Fordítás
Kategória:Valószínűségszámítás