A matematika, azon belül a számelmélet területén a gyenge Goldbach-sejtés, páratlan Goldbach-sejtés vagy 3-prím probléma a következő állítás:
Minden, 5-nél nagyobb páratlan szám kifejezhető három prímszám összegeként (ugyanabban az összegben egy prímszám egynél többször is felhasználható).
A sejtést azért nevezik „gyengének”, mert ha az erős Goldbach-sejtést (ami két prímszám összegét említi) sikerülne igazolni, ez is automatikusan bizonyítottá válna. Ez nyilvánvaló abból, hogy ha bármely 4-nél nagyobb páros szám felírható két páratlan prímszám összegeként, akkor a négynél nagyobb páros számokhoz 3-at adva megkapjuk a 7-nél nagyobb páratlan számokat (a 7 maga felírható, mint 2+2+3).
2013-ban Harald Helfgott publikálta a gyenge Goldbach-sejtésre adott bizonyítását. Jelenleg (2019) ez a bizonyítást széles körben igaznak tekinti a matematikusok közössége, bár nem jelent meg egyetlen recenzált szakértői folyóiratban sem.
Egyesek így fogalmazzák meg a sejtést: Minden hétnél nagyobb páratlan szám kifejezhető három páratlan prímszám összegeként. Ez a változat kizárja a 7 = 2+2+3 összeget, mivel ahhoz szükség van a páros prímszám 2-re. A 7-nél nagyobb páratlan számok esetében is valamivel erősebb állítás, hiszen kizárja az olyan összegeket, mint a 17 = 2+2+13, amiket a másik megfogalmazás megenged. Helfgott bizonyítása a sejtés mindkét változatára kiterjed. A sejtésnek ez a verziója is automatikusan következik az erős Goldbach-sejtésből.
Az eredmények idővonala 1923-ban Hardy és Littlewood megmutatták, hogy az általánosított Riemann-hipotézis elfogadása esetén a gyenge Goldbach-sejtés minden elegendően nagy páratlan számra igaz. 1937-ben Ivan Matvejevics Vinogradov kiküszöbölte az általánosított Riemann-hipotézistől való függést, és közvetlenül bizonyította (lásd Vinogradov-tétel), hogy minden elegendően nagy páratlan szám felírható három prímszám összegeként. Vinogradov eredeti bizonyítása a Siegel–Walfisz-tételre alapozott, ezért nem adott korlátot az „elegendően nagy”-ra; tanítványa, K. Borozdkin (1956) bizonyította, hogy a már elegendően nagy. Az egészrész számjeggyel írható le tízes számrendszerben, tehát nyilvánvalóan lehetetlen egyenként ellenőrizni az ennél kisebb számokat.
1997-ben Deshouillers, Effinger, te Riele és Zinoviev által publikált eredmény szerint az általánosított Riemann-sejtésből következik a gyenge Goldbach-sejtés igaza minden számra. Az eredmény összefűzi az állítást, mely szerint a sejtés igaz minden 1020-nál nagyobb számra a kisebb számokon végzett kiterjedt számítógépes kereséssel.
Olivier Ramaré 1995-ben megmutatta, hogy minden n ≥ 4 páros szám felírható legfeljebb hat prímszám összegeként, amiből következik, hogy minden n ≥ 5 páratlan szám pedig felírható legfeljebb hét prímszám összegeként. Leszek Kaniecki bizonyította, hogy a Riemann-sejtés igazsága esetén minden páratlan szám felírható legfeljebb öt prímszám összegeként. 2012-ben Terence Tao bizonyította ugyanezt a Riemann-sejtés nélkül; ez mindkét eredményt feljavítja.
2002-ben Liu Ming-csi (Hongkongi Egyetem) és Wang Tian-ze a gyenge Goldbach-sejtés „elegendően nagy” változatának bizonyítására vonatkozó korlátot levitte kb. -ra. A kitevő itt is sokkal hatalmasabb annál, minthogy a számítógépes keresésnek értelme lenne – számítógépekkel az erős Goldbach-sejtést mintegy 1018-ig, a gyenge Goldbach-sejtést valamivel tovább tesztelték.
2012-ben és 2013-ban Harald Helfgott perui matematikus megjelentetett két tanulmányt, melyek a Hardy–Littlewood-féle körmódszerben szereplő nagyobb és kisebb ívek (major and minor arcs) becsléseit olyan mértékben megjavították, ami már elegendő volt a gyenge Goldbach-sejtés feltétel nélküli bizonyításához. Itt az -mel jelölt nagyobb ívek az intervallumok uniói az racionálisok körül, ahol konstans. Az -mel jelölt kisebb ívek definíciójuk szerint .
Fordítás
Jegyzetek
Kategória:Additív számelmélet Kategória:Analitikus számelmélet Kategória:Prímszámokkal kapcsolatos sejtések
ru:Проблема Гольдбаха#Тернарная проблема Гольдбаха