Az (Ω, A, Pr) valószínűségi mezőn értelmezett valószínűségi változó eloszlásfüggvénye a következő összefüggéssel definiált függvény:
Itt annak az eseménynek a valószínűsége, hogy értéke kisebb -nél.
Az így értelmezett függvény balról folytonos. Néha megengednek egyenlőséget is, ekkor a függvény jobbról folytonos lesz. Az angol és a német szakirodalom jobbról folytonosként értelmezi. Kolmogorov nyomán az egykori keleti blokk országaiban a szigorú egyenlőtlenséget használják.
Az eloszlásfüggvény tehát minden x valós számhoz annak a valószínűségét rendeli, hogy a valószínűségi változó ennél kisebb értéket vesz fel.
Az eloszlásfüggvény segítségével lehet sok alapvető jelentőségű valószínűségszámítási fogalmat definiálni, például a sűrűségfüggvényt, a várható értéket és a varianciát. Az eloszlásfüggvény segítségével lehet definiálni a valószínűségi változók egyik legfontosabb osztályát, a folytonos valószínűségi változók osztályát is.
Az eloszlásfüggvény rendelkezhet különféle paraméterekkel, úgy mint helyparaméter, skálaparaméter vagy alakparaméter.
A fenti definíció általánosítható magasabb dimenziókra is, így a többváltozós (közös) eloszlásfüggvényhez jutunk.
Definíció Definíció valószínűségi mértékkel Adva legyen a valószínűségi mérték a valós számok eseményterén, azaz legyen minden valós szám esemény. Balról folytonosságot feltételezve az , függvény a valószínűség eloszlásfüggvénye. Más szóval, a függvény az helyen annak a valószínűségét adja meg, hogy bekövetkezik az esemény.
Definíció valószínűségi változóval Ha valószínűségi változó, akkor az
függvény eloszlásfüggvénye. Itt annak a valószínűsége, hogy értéke kisebb -nél.
Ezzel a valószínűségi változó eloszlásfüggvénye ugyanaz, mint eloszlásának eloszlásfüggvénye.
Alternatív definíciók bélyegkép|jobbra|Eloszlásfüggvények jobb oldali folytonosságot használva. Fent diszkrét, középen folytonos, alul vegyes eloszláshoz
Az angol és a német szakirodalomban az egyenlőtlenséget nem értelmezik szigorúan. Tehát a definíciókban , helyett , és helyett szerepel.
Továbbá , helyett , értéke kisebb -nél helyett legfeljebb szerepel.
Ennek következtében a függvény balról folytonos helyett jobbról folytonos lesz. Folytonos eloszlások esetén a kétféle definíció ugyanazt az eredményt adja.
Példák bélyegkép|jobbra|250px|Különféle p és N paraméterű binomiális eloszlások eloszlásfüggvényei Szigorú egyenlőtlenség alkalmazásakor a binomiális eloszlás eloszlásfüggvénye:
továbbá .
Ha az egyenlőtlenség nem szigorú, akkor:W. Gellert, H. Küstner, M. Hellwich, H. Kästner (Hrsg.): Kleine Enzyklopädie Mathematik. VEB Verlag Enzyklopädie Leipzig 1970, , S. 659–660.
A két konvenció egyenrangú, de választani kell közülük. Források feldolgozásakor erre ügyelni kell, mivel a képleteket nem mindig lehet átvenni, csak folytonos esetben. Erre utal az is, ha van sűrűségfüggvény.
Tulajdonságai Az eloszlásfüggvény egyértelműen meghatározza a valószínűségi változó eloszlását, és viszont. Szemben a valószínűségi változókat jellemző többi függvénnyel (sűrűségfüggvény, karakterisztikus függvény, generátorfüggvény), eloszlásfüggvénye minden valószínűségi változónak van. Bármely F(x) eloszlásfüggvényre teljesül, hogy (a) monoton nem csökkenő (b) balról folytonos. Az egyenlőség megengedéséből ehelyett jobbról folytonosság következik. A folytonosság ekvivalens azzal, hogy minden pont valószínűsége nulla. (c) a -ben 0, a -ben 1 a határértéke. Megmutatható, hogy az állítás fordítottja is igaz: az F(x) függvény pontosan akkor eloszlásfüggvénye valamely valószínűségi változónak, ha a fenti három tulajdonság egyidejűleg teljesül rá. Ez továbbá egyértelmű, azaz adott eloszlás egyértelműen visszaállítható az eloszlásfüggvényből, és fordítva.N. Schmitz. Vorlesungen über Wahrscheinlichkeitstheorie. Teubner, 1996. Eloszlásfüggvénynek legfeljebb megszámlálható sok szakadása lehet.
Példák Sűrűséges valószínűségi mértékek Ha a valószínűségi mérték valószínűségi sűrűsége , akkor .
Ekkor az eloszlásfüggvény .
Például az exponenciális eloszlás sűrűsége . Ha tehát az valószínűségi változó exponenciális eloszlású, vagyis , akkor .
Ez az eljárás azonban nem általánosítható minden esetre. Ugyanis egyrészt nincs minden, a valós számokon értelmezett valószínűségi függvénynek sűrűségfüggvénye, másrészt a sűrűségfüggvényből nem következik, hogy integrálja előáll zárt alakban. Az előbbire példák a diszkrét valószínűség-eloszlások a valós számokon értelmezve, az utóbbira pedig a normális eloszlás.
Diszkrét valószínűségi mértékek bélyegkép|jobba|250p|Egy p paraméteres Bernoulli-eloszlású valószínűségi változó eloszlásfüggvénye (q = 1–p) Legyen egy paraméterű Bernoulli-eloszlású valószínűségi változó, ekkor és .
Ekkor az eloszlásfüggvény
Általánosabban, ha nemnegatív egész számokat vesz fel, akkor .
Ahol az egészrész, vagyis a legnagyobb egész, ami nem nagyobb az számnál.
Mértékelméleti általánosítás
Létezik az eloszlásfüggvénynek egy általánosabb, mértékelméleti definíciója is. Ez a következő: legyen μ véges mérték egy A halmazon, valamint g egy olyan μ-mérhető függvény, melynek értelmezési tartománya a teljes A halmaz (eltekintve esetleg az A egy μ-vel mérve 0-mértékű részhalmazától) és -beli értékeket vesz fel. Ekkor a g eloszlásfüggvénye a
összefüggéssel definiált függvény. A valószínűségszámítás eloszlásfüggvénye esetében a μ szerepében a P valószínűségi mérték áll – ami a definíciója miatt véges –, az A halmazt az Ω eseménytér adja, g helyén pedig az valószínűségi változó áll – ami szintén definícióból adódóan az egész Ω-n értelmezett.
Konvergencia Az eloszlásfüggvények sorozata gyengén konvergál az eloszlásfüggvényhez, ha minden olyan esetén, ahol az folytonos.Schmidt: Maß- und Wahrscheinlichkeit. 2011, S. 396.
Valószínűségi változók esetén használják az eloszlásban konvergens és sztochasztikusan konvergens kifejezéseket is.Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. 2014, S. 287.
Helly-Bray tétele az eloszlásfüggvények gyenge konvergenciájáról hidat képez a mértékek gyenge konvergenciájához. Valószínűségi mértékek akkor gyengén konvergensek, ha eloszlásfüggvényeik gyengén konvergensek. Valószínűségi változók eloszlásban konvergensek, ha eloszlásfüggvényeik sorozata gyengén konvergens. Egyes szerzők inkább az eloszlásban konvergens fogalmát vezetik be előbb, mivel ez könnyebben leírható.
Mértékelméleti értelemben vett eloszlásfüggvények esetén a fenti definíció nem korrekt, mivel mértékelméleti értelemben egy másik fajta konvergenciát vezet be. Ez azonban valószínűségi mértékek esetében egybeesik a gyenge konvergenciával. Az eloszlásfüggvények gyenge konvergenciáját a Lévy-távolsággal metrizálják.
Osztályozásuk A diszkrét valószínűségi változók diszkrét eloszlását leíró eloszlásfüggvény konstans szakaszokból áll, amelyek felfelé ugranak. Ezek az ugró avagy lépcsős függvények közé tartoznak.
A folytonos eloszlások tovább osztályozhatók: Abszolút folytonos eloszlások, ezeknek van sűrűségfüggvényük. Tipikus példák a normális és az exponenciális eloszlások. Folytonosszinguláris eloszlások, amelyeknek nincs sűrűségfüggvényük. Ilyen például a Cantor-eloszlás.
Abszolút folytonos esetben a sűrűségfüggvény az eloszlásfüggvény deriváltja. Habár a többi eloszlásfüggvény is majdnem mindenütt deriválható, deriváltjuk majdnem mindenütt nulla.
Rokon fogalmak Tapasztalati eloszlásfüggvény Egy statisztika tapasztalati eloszlásfüggvénye a statisztika egy fontos szereplője. Formálisan egy statisztika tapasztalati eloszlásfüggvénye megegyezik az pontokon vett diszkrét egyenletes eloszlásnak. A Gliwenko–Cantelli-tétel szerint a független véletlen számokból álló szúrópróba tapasztalati eloszlásfüggvénye tart ahhoz az eloszlásfüggvényhez, amely eloszlásból a véletlen számok származnak.
Közös eloszlásfüggvény és peremeloszlások A közös eloszlásfüggvény általánosítja az eloszlásfüggvényt több dimenzióra több véletlen változó vagy valószínűségi vektorváltozó együttes eloszlásaként. Az egyes valószínűségi változókhoz illetve koordinátákhoz tartozó eloszlásfüggvények a peremeloszlás-függvények, amelyek hasonlóan kaphatók meg, mint az eloszlásfüggvény. A közös eloszlásfüggvény -ban van definiálva, ahol .
Általánosított inverz eloszlásfüggvény Az általánosított inverz eloszlásfüggvények bizonyos értelemben és megkötésekkel az eloszlásfüggvények inverzének tekinthetők. Jelentőségük a kvantilisek kiszámításában áll.
Mértékelméleti értelemben vett eloszlásfüggvény Eloszlásfüggvények definiálhatók a valós számokon vett bármely véges mértékre. A mértékelméleti értelemben vett eloszlásfüggvények tükrözik az eloszlás lényeges tulajdonságait, és az eloszlásfüggvény általánosításának tekinthetők.
Túlélési függvény A túlélési függvény az eloszlásfüggvénnyel szemben azt mutatja meg, hogy mekkora annak a valószínűsége, hogy egy bizonyos értéket meghaladjon a valószínűségi változó. Használják például az élettartamok elemzéséhez, ezzel mérik, hogy mi a valószínűsége egy életkor túlélésének.
Többváltozós és magasabb dimenziós eloszlásfüggvény A többváltozós eloszlásfüggvényeket valószínűségi vektorváltozókhoz rendelik. A magasabb dimenziós eloszlásfüggvényt inkább a mértékelméleti értelemben használják.
Ismeretlen valószínűség-eloszlás meghatározása Kolmogorov–Szmirnov-próbával vizsgálhatjuk, hogy a minta származhat-e egy feltételezett F eloszlásfüggvényű folytonos eloszlásból. A χ²-próba diszkrét eloszlásokra alkalmazható.
Fordítás
Jegyzetek
Források Bognár J.-né – Mogyoródi J. – Prékopa A. – Rényi A. – Szász D.: Valószínűségszámítási feladatgyűjtemény (Typotex Kiadó, 2001) Fazekas I. (szerk.): Bevezetés a matematikai statisztikába (Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen, 2000) Járai Antal: Mérték és integrál (Nemzeti Tankönyvkiadó, 2002)