200px|thumb|Annak a valószínűsége, hogy egy valószínűségi változó értéke és közé esik, megfelel a valószínűségi sűrűségfüggvény és közötti szakaszának görbe alatti területének A valószínűségszámításban az X valószínűségi változó sűrűségfüggvénye f pontosan akkor, ha az X-nek az F-fel jelölt eloszlásfüggvénye előállítható a következő alakban:
Szemben a valószínűségekkel, a sűrűségfüggvények felvehetnek 1-nél nagyobb értéket is. A valószínűségi eloszlások sűrűségfüggvényeken alapuló konstrukciója szempontjából nem a sűrűségfüggvény által felvett érték a fontos, hanem az integrál.
A sűrűségfüggvény általánosítása az általánosított sűrűségfüggvény, ahol is a Lebesgue-mértékre vonatkozó sűrűségfüggvények a valószínűségi sűrűségfüggvények. A továbbiakban sűrűségfüggvényen valószínűségi sűrűségfüggvényt értünk, kivéve ha azt máshogy jelezzük.
Diszkrét esetben az események valószínűsége megkapható a tartalmazott elemi események valószínűségeinek összegzésével. Folytonos esetben azonban ez nem tehető meg, mivel a nullaszor végtelen értéke bármi lehet. Például két ember csak ritkán pont egyforma magas, eltér egymástól egy hajszállal vagy csak néhány atomnyival. A sűrűségfüggvénnyel tetszőleges intervallum valószínűsége meghatározható, így a nullaszor végtelen probléma megkerülhető.
Definíció A sűrűségfüggvény definiálható valószínűségeloszlás alapján, vagy pedig a valószínűségeloszlást lehet levezetni a sűrűségfüggvényből.
Az önálló definícióban szerepel az tulajdonság, a nemnegativitás, az integrálhatóság és a normáltság, azaz a teljes -en vett integrál egy. Ekkor definiálható hozzá valószínűségeloszlás.
Megfordítva, levezethető valószínűségi mértékből. Ekkor, ha az függvényre minden esetén
illetve
akkor sűrűségfüggvény.
Tulajdonságai Létezés 250px|thumb|Különböző lognormális eloszlások sűrűségfüggvényei, ahol 250px|thumb|Különböző lognormális eloszlások eloszlásfüggvényei, ahol Diszkrét eloszlású valószínűségi változóknak nincs sűrűségfüggvénye. Sűrűségfüggvénye csak folytonos eloszlású valószínűségi változónak lehet. Még a folytonos eloszlású valószínűségi változók közül sincs mindnek sűrűségfüggvénye, csak egy speciális osztályuknak, az abszolút folytonos valószínűségi változóknak, melyeket pontosan azzal a tulajdonsággal definiálunk, hogy van sűrűségfüggvényük. Általános tulajdonságok A definícióból nyilvánvalóan látszik, hogy
bármely sűrűségfüggvény esetén. Ám az is megmutatható, hogy egy tetszőleges f mérhető függvény pontosan akkor sűrűségfüggvény (vagyis pontosan akkor található hozzá olyan valószínűségi változó, melynek sűrűségfüggvénye) ha f(x) ≥ 0 majdnem mindenütt és a fenti tulajdonság teljesül rá.
A sűrűségfüggvény ismeretében több, a valószínűségi változóval kapcsolatos esemény valószínűsége megadható. Bármely A Borel-halmaz esetén
Speciálisan
a két definíció egyenértékű. Kapcsolat az eloszlásfüggvénnyel Ha az eloszlásfüggvény folytonos, és legfeljebb megszámlálható végtelen pontban nem differenciálható, akkor van sűrűségfüggvénye, és:
Más jelöléssel, F '(x)=f(x), vagyis az eloszlásfüggvényből egyszerű deriválással kapjuk a sűrűségfüggvényt.
Vannak olyan eloszlások, mint a Cantor-eloszlás, amelyek eloszlásfüggvénye folytonos, és majdnem mindenütt differenciálható, de nincs sűrűségfüggvényük. A folytonos eloszlások eloszlásfüggvénye majdnem mindenütt differenciálható, de a derivált csak az abszolút folytonos részt foglalja magába.
Megfordítva, a sűrűségfüggvényből is kiszámítható az eloszlásfüggvény (abszolút folytonos) része:
ami azonnal következik a definícióból. Sűrűségfüggvény részintervallumon Ha egy valószínűségi változó csak egy részintervallumból vesz fel elemeket, akkor a sűrűségfüggvény választható úgy, hogy az intervallumon kívül a 0 értéket veszi fel. Erre példa az exponenciális eloszlás, ahol . Egy alternatív lehetőség az értelmezési tartomány leszűkítése, azaz definiálása. Ekkor az eloszlás sűrűségét az intervallumon adja meg a Lebesgue-mérték szerint. Nemlineáris transzformáció A nemlineáris transzformáció esetén
. Konvolúció Abszolút folytonos eloszlás esetén a valószínűségeloszlások konvolúciója visszavezethető a sűrűségfüggvények konvolúciójára. Ha abszolút folytonos eloszlások az és eloszlásfüggvényekkel, akkor :.
Itt a és konvolúciója, és az és konvolúciója. Tehát a konvolúció és a sűrűségfüggvény képzése felcserélhető.
Ez a tulajdonság közvetlenül átvihető független valószínűségi változók összegére. Legyenek valószínűségi változók az és sűrűségfüggvényekkel, ekkor . Tehát az összeg sűrűségfüggvénye megegyezik a tagok sűrűségfüggvényeinek konvolúciójával.
Példák thumb|200px|Az exponenciális eloszlás sűrűségfüggvénye különböző paraméterekkel Az exponenciális eloszlás abszolút folytonos eloszlás, sűrűségfüggvénye
ahol valós paraméter. Ha , akkor az helyen 1-nél nagyobb értéket vesz fel. Az, hogy sűrűségfüggvény, adódik az exponenciális függvény elemi integrációs szabályából, a nemnegativitás közvetlenül következik a hatványozás szabályaiból, és az integrálhatóság is bizonyítható.
A véges intervallumon egyenletes eloszlásnak is van sűrűségfüggvénye, például a intervallumon. Az általa megadott valószínűség , ha és
Az intervallumon kívüli események valószínűsége nulla. Az sűrűségfüggvény megfelel az
feltételeknek. Az alkalmas függvény, amit a intervallumon kívül nulla folytat az integrálhatóság kedvéért. Ezzel a folytonos egyenletes eloszlás sűrűségfüggvénye:
Egy másik megfelelő függvény:
A két függvény egy Lebesgue-nullmértékű halmazon különbözik csak, és mindkettő megfelel a követelményeknek. Mivel egy tetszőleges pontban meg lehet változtatni az értéket, azért egy valószínűségeloszlásnak legalább kontinuum sok sűrűségfüggvénye van. Az integrálok értéke nem változik, tehát a módosított sűrűségfüggvény is sűrűségfüggvény marad.
Megjegyzések a definícióhoz Szigorúan véve a definícióban egy Lebesgue-mérték szerinti integrál szerepel, amit úgy kellene jelölni, hogy . Többnyire azonban a Riemann-integrál is megfelel, emiatt szoktak a definícióban integrált írni. A különbséget az jelenti, hogy a Riemann-integrálnak nincs mértékelméleti háttere, míg a Lebesgue-integrálnak van.
A német szakirodalom meg is különbözteti a két eljárást. Amiből a valószínűségeloszlást származtatják, az a Wahrscheinlichkeitsdichte, a másik a Verteilungsdichte.Georgii: Stochastik. 2009, S. 19, 24.
Létezés és egyértelműség Valószínűségeloszlásból származtatva A valószínűségeloszlással definiált esetben a valószínűségi mértékből származik a valószínűségeloszlás. A normáltságból következik . Mivel a valószínűségek nem lehetnek negatívak, a függvény sehol se negatív. a σ-additív tulajdonság következik a majorált konvergencia tételéből, a sűrűségfüggvénnyel mint majoránssal és az
függvénysorozattal, ahol az halmazok páronként diszjunktak, és az halmaz karakterisztikus függvénye.
Az egyértelműség következik a mérték egyértelműségének tételéből, és a Borel-σ-algebra generátorainak metszetstabil tulajdonságából, ami itt a zárt intervallumok. A másik definíció alapján A Radon-Nikodým-tétellel belátható, hogy adott valószínűségeloszláshoz létezik sűrűségfüggvény: Ha valószínűségeloszlás, akkor és csak akkor van sűrűségfüggvénye, ha abszolút folytonos a Lebesgue-mértékre. Ez azt jelenti, hogy ha , akkor .
Ez nem zárja ki, hogy több sűrűségfüggvény létezik, de mindegyik csak Lebesgue-nullmértékű halmazon különbözik a többitől, azaz majdnem mindenütt egyenlőek.
Emiatt a diszkrét valószínűségeloszlásoknak nincs sűrűségfüggvénye, mivel egy alkalmas elemre mindig teljesül, hogy . Ezeknek a ponthalmazoknak azonban a Lebesgue-mértéke nulla, vagyis a diszkrét valószínűségeloszlások nem abszolút folytonosak.
A valószínűségek számítása Alapok Adva legyen az sűrűségfüggvény, ekkor az intervallum valószínűsége . Itt mindegy, hogy az intervallum zárt-e, vagy nyílt, félig nyílt, mivel a folytonos valószínűségi változók esetén egy pont valószínűsége nulla. Formálisan,
Bonyolultabb halmazok esetén az egyes intervallumokon vett integrálokat kell összeadni. Ekkor a képlet .
Alkalmazható a σ-additivitás is, ami azt jelenti, hogy a páronként diszjunkt intervallumok, és
az összes egyesítése, akkor . ahol . Ez érvényes véges sok és végtelen számú intervallumra. Diszjunkt intervallumok valószínűsége összeadódik. Példa Egy callcenterben két hívás között eltelt idő megközelítően exponenciális eloszlású. Legyen ennek paramétere ! Ekkor a sűrűségfüggvény . Az x tengely beosztását a paraméter határozza meg úgy, hogy idő alatt várható értékben egy hívás fut be. Annak a valószínűsége, hogy a következő hívás egy és két időegység után következik be: .
Tegyük fel, hogy egy munkatárs öt időegység hosszú szünetet tart! Annak a valószínűsége, hogy közben nem érkezik hívás, egyenlő azzal a valószínűséggel, hogy a következő hívásig öt vagy több időegység telik el. Ennek valószínűsége
Jellemző számadatok meghatározása Egy valószínűségi változó jellemző számadatai közül több is megadható a valószínűségi változó sűrűségfüggvényének segítségével. Módusz Egy valószínűségeloszlás illetve valószínűségi változó módusza definiálható a sűrűségfüggvénnyel: Ahol a sűrűségfüggvénynek maximuma van, ott van a módusz. Formálisan, akkor módusza az sűrűségfüggvényű valószínűségi változónak, ha az hely lokális maximumhely. ez azt jelenti, hogy van , hogy minden helyen.
Egy sűrűségfüggvénynek több lokális maximumhelye is lehet, ekkor az eloszlás bimodális vagy multimodális. Az egyenletes eloszlás esetén minden hely módusz. Medián A mediánt rendszerint az eloszlásfüggvénnyel és kvantilisekkel definiálják. Abszolút folytonos eloszlás mediánja számítható sűrűségfüggvénnyel: az eloszlás vagy a valószínűségi változó mediánja, ha:
és
Folytonosság miatt mindig létezik, de az egyértelműség nem garantált, például csak két diszjunkt intervallum unióján nullától különböző értékeket felvevő szimmetrikus sűrűségfüggvény esetén. Várható érték Ha az valószínűségi változó sűrűségfüggvénye , akkor várható értéke: ,
ha az integrál konvergens. Ha nem konvergens, akkor a valószínűségi változónak nincs várható értéke. Szórásnégyzet és szórás Ha az valószínűségi változó sűrűségfüggvénye , és várható értéke , akkor szórásnégyzete .
Vagy az eltolási tétellel: . Ezek a képletek csak akkor használhatók, ha az integrálok konvergensek. A szórás a szórásnégyzetből számítható gyökvonással, de sokszor elég a szórásnégyzetet használni. Magasabb momentumok, ferdeség és lapultság A fent leírt nemlineáris transzformáció felhasználásával közvetlenül kiszámíthatók a további momentumok. Így ha az valószínűségi változó sűrűségfüggvénye , akkor:
és a k-adik abszolút momentum .
Ha várható értéke , akkor a centrális momentumok:
és az abszolút centrális momentumok: .
Példa Példaként tekintsük az exponenciális eloszlást:
ahol paraméter!
Az exponenciális eloszlásnak mindig módusza a nulla. A intervallumon a sűrűségfüggvény konstans nulla, és az intervallumon szigorúan monoton csökken, így a 0 helyen lokális maximum van. A monotóniából következik, hogy nincs több lokális maximum, a módusz egyértelmű.
A centrális momentumokból meghatározható a ferdeség és a lapultság.
A medián meghatározásához elég a félegyenesen integrálni, mivel a negatív számokon a függvény értéke konstans nulla: .
Rövid számolással .
Ez teljesíti a mediánra vonatkozó második egyenlőséget is, tehát valóban medián.
A várható érték meghatározható parciális integrállal:
.
A parciális integrál kétszeri alkalmazásával számítható a szórásnégyzet is. További példák Legyen most az sűrűségfüggvény , ha ; ha ; és ha ! Ekkor valóban sűrűségfüggvény, mivel nemnegatív teljes -en, továbbá .
Minden esetén:
Az eloszlásfüggvény
Ha valószínűségi változó, aminek sűrűségfüggvénye , akkor például .
Az változó várható értéke .
Többdimenziós sűrűségfüggvény Többdimenziós valószínűségi változókra is definiálható sűrűségfüggvény, ha eloszlásuk abszolút folytonos. Legyen az valószínűségi vektorváltozó értékű; ekkor az (Lebesgue-mérték szerinti) sűrűségfüggvénye, ha