A Gauss-lemma egy egész együtthatós polinomokra vonatkozó állítás, amit az algebrában nemcsak a polinomok elméletében alkalmaznak.
Primitív polinomok
Egy egész együtthatós polinomot primitívnek nevezünk, ha együtthatóinak legnagyobb közös osztója 1.
Például primitív polinom.
A lemma állítása Primitív polinomok szorzata is primitív.
A lemma bizonyítása Indirekt tegyük fel, hogy a primitív és polinomok szorzata nem primitív. A szorzat
ahol
Van tehát olyan prímszám, ami minden -nak osztója. Legyen a legkisebb index, amire nem osztója -nak és hasonlóan legyen a legkisebb index, amire nem osztója -nek. Ekkor a azon tagok összege, amikre teljesül. Ebben az összegben minden tag osztható -vel, amiben , minden tag osztható -vel, amiben , a fennmaradó egyetlen tag, viszont nem osztható -vel. Tehát nem osztható -vel, ellentmondás.
Alkalmazás Ha a egész együtthatós polinom felbomlik a racionális együtthatós és polinomok szorzatára, akkor olyan egész együtthatós és polinomok szorzatára is felbontható, ahol fokszáma megegyezik -ével, fokszáma pedig -ével.
Valóban, legyen az nevezőinek legkisebb közös többszöröse (azaz ekkor egész együtthatós) illetve az polinom együtthatóinak legnagyobb közös osztója. Ekkor , ahol szintén egész együtthatós polinom. Elosztva -val adódik. Legyen hasonlóan a nevezőinek legkisebb közös többszöröse és a együtthatóinak legnagyobb közös osztója. Ekkor hasonlóan az előzőekhez adódik. Legnagyobb közös osztók kiemelése miatt és primitív polinomok. Továbbá .
Amit tudunk még, az
egyenlőség.
Azt is feltehetjük, hogy , hiszen, ha például -nak és -nek lenne egy közös osztója, akkor -t és -t -vel osztva ismét egyenlőséget kapunk.
Kaptuk tehát, hogy . Felszorozva adódik. Mivel egész együtthatós, osztja a bal oldali polinom minden együtthatóját. De , ezért osztja minden együtthatóját. A Gauss-lemma miatt ez csak úgy lehet, ha , azaz . Ezzel készen vagyunk, hiszen a felbontása egész együtthatós polinomok szorzatára.
Kategória:Polinomok Kategória:Lemmák