Egy kvantummechanikai rendszer alapállapota a legkisebb energiájú sajátállapot. Az alapállapot energiáját a rendszer nullponti energiájának is nevezik. A gerjesztett állapot bármely olyan állapot, amelynek energiája nagyobb, mint az alapállapoté. A kvantumtérelméletben az alapállapotot többnyire vákuumállapotnak vagy vákuumnak nevezik.
Ha egynél több alapállapot létezik, akkor azt degeneráltnak (elfajult) nevezik. Számos rendszer alapállapota degenerált. Degeneráltság akkor jelentkezik, amikor létezik olyan unitér operátor , amely nem triviálisan hat az alapállapotra és kommutál a rendszer Hamilton-operátorával.
A termodinamika harmadik főtétele szerint egy rendszer az abszolút nulla fokon alapállapotban van, azaz entrópiáját az alapállapot degeneráltsága határozza meg. Számos rendszernek, például a tökéletes kristályrácsnak egyedi alapállapota van, így abszolút nulla fokon zérus az entrópiája. Negatív hőmérsékletű rendszereknél a legmagasabb gerjesztett energiájú állapotnak is lehet abszolút nulla a hőmérséklete.
Az alapállapotnak egy dimenzióban nincs csomópontja Egy dimenziós esetben a Schrödinger-egyenlet alapállapotáról igazolható, hogy nincs zérushelye (csomópontja).Lásd például Published as
Tekintsük az = 0 helyen csomóponttal rendelkező állapotot, azaz amelyre = 0. Ebben az állapotban az átlagos energia:
ahol a potenciál.
Most tekintsük az körüli kis, azaz intervallumot. Vegyünk egy új (deformált) hullámfüggvényt, melynek definíciója , ha ; , ha , és konstans, ha . Kellően kis érték esetén ezt mindig meg lehet tenni, így folytonos függvény.
Feltételezve, hogy körül , felírhatjuk, hogy
ahol a normálási tényező.
Vegyük észre, hogy a normalizálás miatt a kinetikus energia sűrűsége mindenhol . Még fontosabb, hogy az átlagos kinetikus energia -nal csökken a -re történő deformálás miatt.
Most tekintsük a potenciális energiát. A definiáltság kedvéért legyen . Ekkor nyilvánvaló, hogy az intervallumon kívül a potenciális energia sűrűsége esetén kisebb, mivel ekkor .
Ugyanakkor az intervallumban
teljesül rendig.
Ugyanennek a szakasznak a járuléka a csomóponttal rendelkező állapot potenciális energiájában
ami ugyan kisebb, viszont ugyanúgy rendű, mint a deformált állapot esetén. Tehát a potenciális energia változatlan marad rendig, amikor a állapotot a csomópont nélküli állapottal helyettesítjük, így az átlagos kinetikus energia -ban lineáris rendű csökkenése dominálja az összenergia megváltozását.
Ezen a módon eltávolíthatjuk az összes csomópontot és -nal csökkenthetjük az energiát, ami egyben azt jelenti, hogy nem lehet az alapállapot. Az alapállapot hullámfüggvényének tehát nem lehet csomópontja – ezzel a bizonyítást befejeztük. (Ezután az energia tovább csökkenthető a hullámosság redukálásával, egészen az innen már variációval elérhető abszolút minimumig.)
Példák
Egy egydimenziós dobozba zárt részecske hullámfüggvénye alapállapotban félperiódusú szinuszhullám, mely a két végpontnál nulla értéket vesz fel. A részecske energiája , ahol h a Planck-állandó, m a részecske tömege, n az energiaszint (n = 1 felel meg az alapállapotnak), és L a doboz mérete. A hidrogénatom alapállapotának hullámfüggvénye gömbszimmetrikus eloszlást mutat, melynek középpontja az atommagban helyezkedik el, az értéke itt a legnagyobb, ettől távolodva pedig exponenciálisan csökken. Az elektron legnagyobb valószínűséggel az atommagtól a Bohr-sugárral megegyező távolságra található meg. Ezt a függvényt 1s atompályának nevezzük. A hidrogénben az elektron alapállapotának energiája az ionizációs határhoz képest −13,6 eV. Más szóval 13,6 eV energia szükséges ahhoz, hogy az elektron már ne legyen az atomhoz kötve. A másodperc pontos definíciója 1997 óta az alapállapotú – 0 K hőmérsékletű, nyugvó – cézium-133 atom két hiperfinom energiaszintje közötti átmenetnek megfelelő sugárzás periódusának időtartama.
Jegyzetek
Fordítás
Irodalom
Kategória:Kvantummechanika