250px|bélyegkép|Egy tipikus, intervallumon értelmezett valós függvény grafikonja a koordinátasíkon ábrázolva. : [-4;1,5] → R; x↦ex(x2-x)
A függvény vagy más néven parciális (részleges) leképezés a matematika egy olyan absztrakt fogalma, mely a geometriai leképezések, elemi algebrai műveletek, folytonosan változó mennyiségek és hasonló, bemeneti értékekből egyetlen kimeneti értéket produkáló fogalmak általános leírására szolgál. Az függvény a halmaz – melyet az értelmezési tartományának nevezünk – minden egyes eleméhez egyetlen kimeneti értéket rendel. Hagyományosan ezt így jelölik: , ahol vagy , ahol
A függvény fogalmához szorosan hozzátartozik az az elv, hogy két függvényt akkor tekintünk egyenlőnek, ha értelmezési tartományuk ugyanaz és a közös értelmezési tartomány minden egyes eleméhez a két függvény ugyanazt az értéket rendeli.
Szabatos matematikai fogalmazásban, függvényen általában úgynevezett jobbról egyértelmű hozzárendelést értünk. A függvény fogalma tehát a reláció (más néven: hozzárendelés) fogalmának olyan speciális esete, melyben bármely adott dologhoz legfeljebb egy dolgot rendelünk hozzá.
Ha ezen felül megköveteljük azt is, hogy a függvény minden ilyen dologhoz legalább egy dolgot hozzárendeljen, azaz ha a reláció bármely adott dologhoz pontosan egy dolgot rendel hozzá, akkor függvény helyett totális függvényről (illetve parciális leképezés helyett leképezésről) beszélünk.
Formális definíció
A mindennapi matematikai gyakorlatban alkalmazott informális függvényfogalmat (a bevezetőben lényegében erről beszéltünk) többféleképpen lehet szabatos formulákban megfogalmazni. Attól függően, hogy az alkalmazás inkább algebrai, analitikus, geometriai vagy matematikai logikai, a következő formális definíciókkal, egymástól néha fogalmilag is különböző értelmezésekkel találkozhatunk.
Első definíció
Ezt az alakot elsősorban a halmazelméletben és az analízisben használják.
A halmazelméletben függvényen rendezett párok olyan halmazát értjük, amiben első komponensként legfeljebb csak egyszer szerepelhet egy elem - az utóbbi, ún. egyértelműségi tulajdonság logikai formulában kifejezve:
Értelmezési tartomány, értékkészlet Ebben az esetben az függvény értelmezési tartománya:
halmaz, mely biztosan halmaznak tekinthető a részhalmaz-axióma miatt, hiszen része az rendezett párjai második komponenseinek halmazának.
Az értékkészlete: ; mely a részhalmaz-axióma miatt tényleg halmaz. Gyakran találkozunk a következő szimbólumokkal: , , , , , ahol a ran rövidítés a „range of function ” angol kifejezés rövidítése (hasonlóképpen az Im az „image of function ” az értékeinek halmazára utal).
Az értelmezési tartomány minden egyes eleméhez egyetlen olyan elem tartozik, melyre , mely egyértelműen létező -t ebben az esetben is
jelöli.
Második definíció
Legáltalánosabb esetben függvényen olyan rendezett hármast értünk, ahol és két halmaz, pedig olyan reláció, hogy minden elemre legfeljebb egyetlen olyan létezik, melyre teljesül.
Ekkor az -t alaphalmaznak vagy kiindulási halmaznak, a -t képhalmaznak vagy érkezési halmaznak nevezik. értelmezési tartományán a értelmezési tartományát értik, azaz az azon részhalmazát, melynek minden eleme esetén pontosan egy olyan található, hogy , azaz melyre -t leszűkítve az balról totális reláció lesz. értékkészletén a értékkészletét értik, azaz azon elemek halmazát, melyre létezik , hogy .
Ha az így megadott függvény esetén az értelmezési tartománya nem esik egybe az alaphalmazával, akkor azt mondjuk, hogy parciális vagy parciálisan értelmezett függvény. Ellenkező esetben totális függvényről beszélünk.
Harmadik definíció
Ez a definíció általában az algebrára, a geometriára és a konkrét kategóriák elméletére jellemző. Ekkor a függvény egy speciális relációs struktúra.
Az f függvény olyan (A, B, ρ) rendezett hármas, ahol A és B egy-egy halmaz, ρ pedig olyan A × B-beli reláció, melyre teljesül, hogy minden egyes A-beli x-hez pontosan egy olyan B-beli y van, melyre x ρ y. Ekkor tetszőleges x ∈ A elemhez az f által egyértelműen rendelt elemet f(x)-szel jelöljük.
Értelmezési tartomány Ha (A, B, f) egy, a fenti értelemben vett függvény, akkor az A halmazt az értelmezési tartományának, definíciós tartományának nevezzük. Jelölése nem egységes, a leggyakrabban a következők fordulnak elő: , , , , . A Dom(f) jelölés az angol „definition domain of function f” (az f értelmezési tartománya) kifejezés rövidítéséből származik.
Érkezési halmaz
Az (A,B, f) függvény esetén a B halmaz az f függvény érkezési halmaza, melyet a fenti definíció esetén az f függvény egyértelműen meghatároz. Ha jelölik valahogy, leggyakrabban a
jelölést használják, az angol „codomain of function f” kifejezés rövidítéseként (ez hasonló a kovektor és koszorzat latin eredetű kifejezésekhez, egyfajta megfordított irányt jelöl).
Értékkészlet
Egy , a második konvencióban definiált függvény érkezési halmaza nem tévesztendő össze az értékkészlettel, mely az
halmaz.
Azt, hogy egy olyan függvény, melynek értelmezési tartománya , az értékkészlete pedig része a halmaznak, a következőképpen jelöljük:
Egy függvény tehát az halmaz minden egyes eleméhez hozzárendel egy -beli értéket.
A logikai grammatika függvényfogalma
A fenti definíciók szemlélete a halmazelméleti realizmus talaján áll. Ám, a függvényfogalom bevezethető a Frege és Hilbert által javasolt módon is, mely az informális matematika nyelvi elemzését veszi alapul. Eszerint egy függvény nem más, mint egy egyváltozós névfunktor, tehát mely egy individuumnévből nevet alkot. (A matematikai logikában ezen kívül a függvénynek nevezik a több-bemenetű névfunktorokat is, azaz a műveleteket.) Egy ilyen névfunktor például a csoportelmélet formális nyelvében az elem inverzének képzése (a−1) és az aritmetikában a természetes számok rákövetkezési operátora ( s(a) ).
Példák Példaként említünk az algebra, a geometria és az analízis egy-egy függvényét: Legyen abs: z |z|, ahol z ∈ C. Ez a függvény a z komplex számhoz abszolút értékét, vagy hosszát adja, mely egy nemnegatív valós szám: . Legyen Tt a sík egy adott t tengelyére történő tükrözése. Ekkor a T:P P' függvény egy geometriai leképezés, a sík egy tetszőleges P pontja esetén P' =T(P) a P pont t-re vonatkozó tükörképe. exp: x ex, a természetes alapszámú exponenciális függvény, ahol tehát az alap az e Euler-féle szám.
A függvények osztályzása Injektív, szürjektív, bijektív Az értelmezési tartomány egy elemének képe az értékkészletnek az az eleme, amit a függvény hozzárendel.
Egy érték ősképe az értelmezési tartománynak az a részhalmaza, melynek elemeihez azt az értéket rendeli a függvény. Ez általában nem egyelemű, hiszen például az függvény a 2, -2 számokhoz is a 4-et rendeli értékként.
Ha az értékkészlet minden elemének ősképe egyelemű, akkor a függvény injektív. Az injektív tulajdonság ereje abban áll, hogy ezek a függvények invertálhatók, azaz inverz relációjuk is (parciális) függvény.
Egy függvény szürjektív, ha az érkezési halmaz minden eleme előáll képként, tehát nem tekintettünk az értékkészletnél bővebb halmazt érkezési halmaznak. Például, ha az függvény érkezési halmazának -t tekintjük, akkor nem szürjektív, hiszen a negatív egészek nem állnak elő.
Ha egy függvény injektív és szürjektív, akkor bijektív. Ez azt jelenti, hogy az érkezési halmaz minden elemének ősképe pontosan egyelemű. Ezt használják a halmazok számosságának megadására is.
A változók száma szerint thumb|Egy kétváltozós művelet egy olyan függvény, ami a két operandusához, -hez és -hoz a művelet eredményét ( rendeli)
A változók száma szerint beszélünk egyváltozós, kétváltozós, illetve többváltozós függvényről. Formálisan, egy függvény kétváltozós, ha . Nem elfajuló esetben lehet részhalmaz is az értelmezési tartomány. Ekkor az függvény az párhoz az értéket rendeli. Hasonlóan, egy függvény háromváltozós. Egy függvény akkor egyváltozós, ha az értelmezési tartomány nem áll elő szorzathalmazként, illetve az értelmezési tartomány belső szerkezetétől eltekintünk. Ha a függvény értékkészlete egyetlen elem, akkor a függvény nulla változós, konstans.
Itt megjegyezzük, hogy ez a fogalom a matematika elterjedt, sztenderdnek tekinthető halmazelméleti felépítésében pusztán technikai, ill. formai jellegű. A valós számok halmazán értelmezett valamely kétváltozós függvényt - pl. f(x,y)=x+y - lényegében egyváltozósnak is tekinthetjük, amely értelmezési tartománya a valós számok halmazának Descartes-szorzata önmagával, az értékkészlete pedig a valós számok halmaza. A geometriai transzformációk a sík, illetve a tér pontjait transzformálják, mégis többnyire egyváltozós, pont-pont függvényeknek tekintjük őket.
Egy másik felfogás szerint a többváltozós függvények lebonthatók egyváltozós függvényekre. Például az függvény tekinthető úgy, mint ami a független a változóhoz hozzárendeli annak b-vel növelt értékét. Ezt körrizésnek nevezik, és inkább az informatikában jut szerephez.
Az alaphalmaz szerint
Valós függvény Komplex függvény Geometriai leképezés Vektorterek leképezése
stb.
Analitikai tulajdonságok Korlátosság Periodikusság Monotónia Paritás Folytonos függvény Differenciálhatóság Holomorfia Homogenitás Mérhetőség Integrálhatóság Konvex vagy konkáv
A műveletekkel való kifejezhetősége szerint Sorozat: a pozitív egészeken (1-től indexelve) vagy a természetes számokon (0-tól indexelve) értelmezett függvény Számelméleti függvény: az egész számokon értelmezett függvény Valós értékű függvény: a valós számokba képező függvény Komplex értékű függvény: a komplex számokba menő függvény Egészrész és törtrészfüggvény Maximum és minimum Algebrai függvény Homogén lineáris függvény: alakú függvény, homomorfizmus az összeadásra Lineáris függvény, avagy affin függvény: alakú függvény Kvadratikus, vagy másodfokú függvény: alakú függvény, ahol . Racionális egészfüggvény, polinom: vagy alakú függvények Racionális törtfüggvény Racionális függvény, lásd racionális egészfüggvény és racionális törtfüggvény Gyökfüggvény: egy gyökvonást és alapműveleteket tartalmazó függvény Transzcendens függvény Exponenciális függvény Logaritmusfüggvény Trigonometrikus függvények Abszolútérték-függvény Hiperbolikus függvények vagy például Izometrikus leképezés Affin transzformáció Inverzió Hasonlósági leképezés Elsőfokú racionális egészfüggvény Másodfokú racionális egészfüggvény Harmadfokú racionális egészfüggvény
(itt megjegyzendő, hogy ez az osztályozás nem teljes és rendszerezésre vár)
Függvények halmaza A jelölések a -ből -be menő leképezéseket jelölik:
A halmaz számosságára teljesül, hogy:
Függvények megadása
Egy f függvényt akkor tekintünk adottnak, ha adott értelmezési tartománya és az értelmezési tartomány minden x eleme esetén az ehhez rendelt f(x) érték – ezt a hozzárendelési utasításnak nevezzük. Ezek már meghatározzák az értékkészletet, ám nem határozzák meg a függvény érkezési halmazát. Ha a függvény fogalmát a fenti, algebrai szemléletben definiáljuk, akkor ezeken kívül még meg kell adnunk az érkezési halmazát is.
A hozzárendelést egy
vagy
alakban adott szimbólumsorral jelöljük. (Az utóbbi jelölésben a hozzárendelést leggyakrabban „talpasnyíllal” jelölik.) A H halmaz az értelmezési tartomány, vagyis amilyen értékeket a formula x változója helyére helyettesíthetünk, a K az érkezési halmaz, azaz amilyen értékeket a függvényérték, azaz f(x) felvehet.
Például:
Néha megengedjük az értelmezési tartomány helyett egy azt tartalmazó bővebb halmaz megadását, azzal a kimondatlan kiegészítéssel, hogy az értelmezési tartomány az a részhalmaz, amire a hozzárendelési utasításban szereplő kifejezések értelmezve vannak. Ez akkor célszerű, ha már az is komoly vizsgálatot igényelne, hogy megmondjuk, milyen elemekre végezhetők el a hozzárendelési utasításban szereplő műveletek. Néha, ekkor a nyíl „kiindulási halmaz” felőli végére egy részhalmaz jelet teszünk. Például: