Mértani sorozatnak nevezzük az olyan sorozatokat, amelyekben (a másodiktól kezdve) bármelyik tag és az azt megelőző tag hányadosa állandó. Ezt a hányadost idegen szóval kvóciensnek nevezzük. Jele általában: q.
Példák mértani sorozatokra: (a1 = 3, q = 3) 3, 9, 27, 81, ... (a1 = 1, q = 2) 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... (a1 = 7, q = 10) 7, 70, 700, 7000, ...
A mértani sorozat n-edik tagja Legyen a sorozat n-edik tagja an. Ekkor:
vagy , tetszőleges esetén. Ez utóbbi azt is jelenti, hogy a mértani sorozat n-edik tagja az (n + i)-edik és az (n - i)-edik tagjának a mértani közepe. Ezt gyakran a mértani sorozat definíciójának is tekintik, a két képlet ugyanis következik egymásból:
és innen indukcióval következik az első képlet. Hasonlóan
A mértani sorozat első n tagjának összege A mértani sorozat összegképletének megtalálásához a sorozatban jelenlévő önhasonlóságot tudjuk kihasználni.Az eljárás alkalmas a végtelen szakaszos tizedestörtek törtalakban való felírásának meghatározásakor is, mivel azok is tekinthetők egy mértani sorozat összegének. Nézzük a sorozatot és q-szorosát.
Ha kivonjuk az eredeti összegből a q-szorosát, a következőt kapjuk:
Az első elemet – mivel minden tagban megjelenik szorzótényezőként – elég csak a végén figyelembe venni, így
A kapott képlet viszont csak esetén értelmes. Ha a hányados egy, akkor mivel minden tag egyenlő, így .
Ha az összegzés első eleme , utolsó eleme , akkor a képlet a következőképpen változik:
vagy , ha .
Az összegképlet még akkor is működik, ha akár az első elem, akár a hányados komplex szám. Általánosabban: tetszőleges testben is érvényes a képlet.
Hasonló sorozatok A mértani sor összegképletének ismeretében több, hasonló sorozat összegképlete is könnyedén megtalálható.
1 + 2q + 3q2 + 4q3 + ⋯ + nqn-1 Ezen sorozat összegképletét többféleképpen is megkaphatjuk, legegyszerűbben úgy, ha deriváljuk a mértani sorozatra vonatkozó összefüggést.
Úgy is megkaphatjuk az összegképletet, ha táblázatba rendezzük a tagokat a következőképpen:
1. 2. 3. 4. ⋯ n. sor összege 1. ⋯ 2. ⋯ 3. ⋯ 4. ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ n. oszlop összege ⋯
Látható, hogy ha oszloponként adjuk össze az elemeket, akkor a keresett összeget kapjuk. Az oszlopok összegeinek összege és a sorok összegeinek összege egyenlő kell egyen. Ez az összeg pedig pont az, amit keresünk:
A harmadik módszer, amivel megtalálhatjuk az összegképletet, az pont ugyanaz, mint amit a mértani sorozatnál használtunk. A mértani sorozat önhasonlóságát kihasználva vizsgáljuk a sorozat q-szorosát.
Ha kivonjunk az eredeti összegből a q-szorosát, azt kapjuk, hogy
Az algebrai átalakítások elvégzése után ugyanazt a képletet kapjuk, mint a másik két módszerrel.
Így
1q + 2q2 + 3q3 + ⋯ + nqn Ennél a sorozatnál is kihasználhatjuk az önhasonlóságot, vagy akár alkalmazhatjuk a táblázatos felírást, azonban ha jobban megnézzük, a fenti sorozat nem más, mint az előző q-szorosa, tehát az összegképlet még könnyebben meghatározható.
Végtelen mértani sor
Egy végtelen mértani sor egy olyan végtelen összeg, amelyben a szomszédos tagok hányadosa állandó (azaz tagjai egy mértani sorozat elemei). A mértani (és rokon) sorozatokra vonatkozó összegképlet határértékének vizsgálatával megállapítható, hogy egy végtelen mértani sor csak akkor konvergál véges értékhez, ha a hányados abszolút értéke kisebb, mint 1. A végtelen mértani sor általánosítása a Neumann-sor.
Ha az összeg első eleme , akkor
A mértani sorra vonatkozó összegképlet deriválásával tetszőleges variánsok összegképleteit kaphatjuk meg (természetesen azok is csak esetén konvergálnak).
Ebből könnyedén felírható, hogy
Deriválással hasonlóan számítható, hogy
Mivel a végtelen mértani sorok konvergálnak bizonyos feltételek mellett, így több egyszerűen alkalmazható konvergenciatesztnek is alapját képezik, mint pl. a gyök-teszt vagy a hányados-teszt.
Geometriai hatványsor Az
összegfüggés értelmezhető az kifejezés Taylor-soraként is, amely esetén konvergens. Ebből aztán további hatványsorokat lehet előállítani.
A kapott formula esetén is konvergál, a határértéke pedig .
Ezen összefüggés a híres Leibniz-féle sor.
A fenti összefüggés a híres Mercator-sor, amely esetén is konvergens, ebből adódik a ismert feltételesen konvergens sorbafejtése: .
A mértani sorozat első n tagjának szorzata Írjuk fel tényezőnként ezt a szorzatot:. Mivel (lásd: számtani sorozat), ezért a mértani sorozat első n tagjának szorzata:. A mértani sorozat konvergenciája Állítás: Az végtelen mértani sorozat akkor és csak akkor tart nullához, ha hányadosának abszolút értéke egynél kisebb.
Bizonyítás: A bizonyítást két irányból végezzük el. Egyszer belátjuk, hogy a sorozat konvergens, és határértéke nulla, ha a hányados abszolút értéke egynél kisebb. Másodszor belátjuk, hogy a sorozat nem tart nullához, ha a hányados abszolút értéke nem kisebb egynél.
1. A sorozat konvergens, és határértéke nulla, ha a hányados abszolútértéke egynél kisebb.
Adva legyen egy valós szám. Ehhez keresünk egy indexet, hogy minden esetén .
Mivel és , ezért létezik . ahol a természetes logaritmus.
Amiatt, hogy , megfordul az összes egyenlőtlenség, ha szorzunk -val:
Az indexekre ; az egyenlőtlenség iránya megmarad, ha az számot ezekre a kitevőkre emeljük:
Az egyenlőtlenség miatt az egyenlőtlenség iránya megmarad, ha szorzunk az nevezővel: ; így (1), q. e. d.
2. A sorozat határértéke nem lehet nulla, ha a hányados abszolút értéke nem kisebb egynél. Más szavakkal, ha , akkor a sorozat nem tart nullához.
Ha nem konstans 0, akkor választható úgy, hogy minden esetén .
Az egyenlőtlenséget -vel beszorozva adódik, hogy , vagyis ,
mivel az egyenlőtlenség iránya miatt megmarad.
Választunk egy valós számot, hogy . Így (2)-vel teljesül, hogy minden esetén , ezér az sorozat nem tarthat 0-hoz.
Alkalmazások A mértani sorozat növekedési folyamatot ír le, melynek során egy mennyiség minden lépésben ugyanannyiszorosára nő. Példák: Kamatos kamat Legyen a kamatos kamat kamata 5%! Ez azt jelenti, hogy a tőke minden évben 1,05-szeresére nő. Ez a növekedési tényező. A tőke minden évben -szeresére nő. Ha a kezdőtőke 1000 euró, akkor
az első év után a tőke
a második év után
a harmadik év után és így tovább. Temperált hangolás A hangszerek különbözőképpen hangolhatók, illetve különböző hangolással készíthetők. Ezek egyike a temperált hangolás. Ez arról nevezetes, hogy hangközei egyenletesek, azaz minden hangközlépés (kis szekund) a hang frekvenciáját ugyanannyiszorosára változtatja. Egy oktávban 12 kis szekund van, és tudjuk, hogy a (felfelé lépő) oktáv kétszeresére növeli a frekvenciát. Így az egyes kis szekundok frekvenciaaránya . Ha az oktávot az frekvenciájú hangról indulva kezdjük építeni, akkor az oktávban a következő frekvenciák szerepelnek: , ahol az egész 0-tól 12-ig terjed.
Történet A mértani sorozat fogalmát már az ókori egyiptomiak is ismerték, és összegük is érdekelte őket; konkrét feladatok esetén ki is tudták számolni az összeget. Megtalálták ugyanis a Rhind-papiruszon a következő feladat – amely később feladatgyűjteményekben és népi találós kérdésekben is felbukkant – igen tömör megoldását: „Ha 7 ház mindegyikében 7 macska van, mindegyik megfogott 7 egeret, minden egér megevett 7 búzaszemet, minden búzaszemből 7 hekatEgyiptomi űrmértékegység, pontos átváltása mai SI egységekre nem ismert, és tudjuk, hogy a történelem során értéke változott is; egyes források szerint 1 hekat búza kb. 4,7 liter körül lehetett . búza termett volna, hány hekat búza lett volna abból?” A papiruszon maga a feladat nem szerepel, csak a megoldás szűkszavú leírása („Ház: 7 – macska: 49 – egér: 343 – ...” stb.), de lehetetlen nem rájönni; továbbá a papirusz nem utal az összegképlet ismeretére: végigszámolták a sorozat tagjait, és úgy adták össze őket.Sulinet: Az ókori Egyiptom matematikája
Hasonló példa szerepel egy XIX. századi angol nonszensz mondókában:
(Ez a feladat az egyiptomitól annyiban tér el, hogy beugratós: csak egyvalaki ment St. Ives-ba, mégpedig a vers elbeszélője, a népes kompánia St. Ives felől jött, nem pedig oda ment).
Kapcsolódó szócikkek Számtani sorozat Számtani-mértani sorozat Numerikus sorok Harmonikus sor Geometriai eloszlás Fordítás
Jegyzetek
Kategória:Sorozatok