A Hardy-egyenlőtlenség diszkrét formája azt mondja ki, hogy ha nemnegatív valósokból álló sorozat és , akkor
teljesül, ahol . A szereplő konstans pontos.
Összefoglalva, nagyjából arról van szó, hogy egy sorozat hatványösszege (1-nél nagyobb valós kitevő esetén) mindig legalább akkora, mint a sorozat átlagainak hatványösszegének egy konstansszorosa (mely konstans csak a kitevőtől függ).
A Hardy-egyenlőtlenség folytonos, integrálos változata:
minden olyan f(x) integrálható függvényre, ami sehol sem negatív, és egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha f(x) = 0 majdnem mindenütt.
Az egyenlőtlenség először 1920-ban jelent meg Hardy jegyzetében, bizonyítás nélkül.Hardy, G.H., Note on a Theorem of Hilbert, Math. Z. 6 (1920), 314–317. Az eredeti megfogalmazás az integrálos egyenlőtlenség egy másik alakja volt. Az egyenlőtlenség bizonyítható a Hardy-Littlewood maximálfüggvénnyel és a maximálfüggvények elméletének felhasználásával.
Magasabb dimenzióban az egyenlőtlenség szintén teljesül, de ott a konstans szorzó p-n kívül a tartománytól is függ. Konvex tartományokra például vehető 1/4-nek, de vannak sima tartományok, amikre ez a szám kisebb. Sőt, vannak tartományok, amikre ez a szorzó nem pozitív. A tételnek van súlyozott, és nem korlátos tartományra általánosított változata is.
Az egyenlőtlenséget alkalmazzák a Markov-folyamatok, és az Lp-terek elméletében. Jegyzetek
Források
https://web.archive.org/web/20100307034242/http://math.tkk.fi/~jkkinnun/mazyapaper.pdf http://www.tmna.ncu.pl/files/v17n2-04.pdf http://math.ucsd.edu/~pfitz/downloads/hardy.pdf http://www.math.kth.se/~laptev/Research/Papers/hhl.pdf https://web.archive.org/web/20100403184758/http://www.mat.ub.es/%7Esoria/Bucharest.pdf http://www.cmap.polytechnique.fr/preprint/repository/635.pdf http://www.emis.de/journals/JIPAM/images/310_05_JIPAM/310_05.pdf
További információk http://emis.dsd.sztaki.hu/proceedings/Paseky95/kufner.ps.gz A Hajłasz-féle bizonyítás
Kategória:Analitikus számelmélet Kategória:Végtelen sorok Kategória:Egyenlőtlenségek