A mértani és harmonikus közép közötti egyenlőtlenség egy matematikai tétel, ami szerint ha pozitív valós számok, akkor
teljesül, tehát n szám mértani közepe legalább akkora, mint a harmonikus közepe. Egyenlőség csak akkor van, ha .
Bizonyítása Legyenek pozitív valós számok. Alkalmazzuk a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenséget a szintén pozitív valós számokra:
Felhasználva a gyökvonás azonosságait:
Átszorozva készen is vagyunk:
Az egyenlőtlenség iránya nem változott, hiszen csupa pozitív szám szerepelt. Egyenlőség csak számokra, azaz esetén teljesül (ez a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenségből adódik).
Mertani Kategória:Valós számok Kategória:Középértékek Mertani