A paraboloid koordináta-rendszer egy háromdimenziós koordináta-rendszer, ami a parabolikus koordináta-rendszer térbeli általánosítása a koordinátákkal. Koordinátafelületei elliptikus paraboloidok. Különbözik a parabolikus hengerkoordináta-rendszertől és a forgásparaboloid koordináta-rendszertől, melyek szintén a kétdimenziós parabolikus koordináta-rendszer térbeli általánosításai. Az előbbi koordinátafelületei parabolikus hengerek, míg a másodiké forgásparaboloidok. Szemben a másik két koordináta-rendszertől, nem kapható meg a kétdimenziós parabolikus koordináta-rendszer vetítésével vagy forgatásával.
Alapképletek Az Descartes-koordináták a következő egyenletekkel kaphatók meg a koordinátákból:
ahol
Következik, hogy a konstans -jű felületek lefelé nyitott elliptikus paraboloidok:
a konstans -höz tartozó koordinátafelületek felfelé nyitott elliptikus paraboloidok:
a konstans -hoz tartozó felületek hiperbolikus paraboloidok:
Skálázási tényezők A paraboloid koordináták skálázási tényezői:Willatzen and Yoon (2011), p. 219
így az infinitezimális térfogatelem
Differenciáloperátorok
A differenciáloperátorok kifejezhetők a koordinátákkal úgy, hogy behelyettesítjük a skálázási tényezőket az ortogonális koordináta-rendszerek általános képleteibe. Például a gradiens:
és a Laplace-operátor:
Alkalmazások A paraboloid koordináta-rendszer hasznos bizonyos differenciálegyenletek megoldásához. Például a Laplace-egyenlet és a Helmholtz-egyenlet szeparábilis a paraboloid koordinátákban. Így a koordináta-rendszer használható paraboloid szimmetriájú rendszerekben, például amikor a peremfeltételek paraboloidszeleten vannak megadva.
A Helmholtz-egyenlet . Elvégezve a helyettesítést, a leválasztott egyenletek: Willatzen and Yoon (2011), p. 227
ahol és szeparációs konstansok. Hasonlóan, a Laplace-egyenlet megkapható a helyettesítéssel a fentiekbe.
A leválasztott egyenletek mindegyike a Baer-egyenlet alakjára hozható. Azonban az egyenletek közvetlen megoldása nehézkes, mivel az és konstansok mindegyike megjelenik minden egyenletben.
A fenti megközelítéssel a paraboloid koordináták használhatók egy paraboloid alakú vezető elektromos mezőjének megoldásához.
Jegyzetek
Források
Same as Morse & Feshbach (1953), substituting uk for ξk.
MathWorld Fordítás
Kategória:Analitikus geometria