A toroid koordináta-rendszer egy háromdimenziós koordináta-rendszer, ami a bipoláris koordináta-rendszerből a fókuszokat elválasztó tengely körüli forgatásával származtatható. Ezzel a két fókusz, és egy sugarú gyűrűvé alakul az síkban, melyre merőleges a forgatás z tengelye.
Definíció A toroid koordináták leggyakoribb definíciója:
és ). Egy pont koordinátája megegyezik az szöggel, és a koordináta a fókuszgyűrű két oldalától mért és távolságok hányadosának természetes logaritmusával:
A koordináták nagysága: és és
Inverz transzformáció
A koordináták a következőképpen számíthatók az (x, y, z) Descartes-koordintákból:
a azimut:
a hengersugár:
és a által definiált síkban a távolságok:
A koordináta megegyezik a fókuszoktól mért távolságok hányadosának természetes logaritmusával:
ahol a fókuszoktól mért sugarak szögével, és a koszinusztétellel számítható:
Vagy explicit, előjellel együtt:
ahol .
Skálázási tényezők
A és a slkálázási tényezői egyenlőek:
és az azimut skálázási tényezője:
Így az infinitezimális térfogatelem:
Differenciáloperátorok A Laplace-operátor:
Egy vektormező esetén a vektor Laplace-operátor:
A további differenciáloperátorok, mint és kifejezhetők a koordinátákkal úgy, hogy behelyettesítjük a skálázási tényezőket az ortogonális koordináta-rendszerek általános képleteibe.
Harmonikus függvények Standard szétválasztás A háromváltozós Laplace-egyenlet megoldható a változók szétválasztásával a toroid koordináta-trendszerben. Ha elvégezzük az helyettesítést, akkor szétválasztható egyenletet kapunk. Egy partikuláris megoldás:
ahol minden függvény a következők lineáris kombinációja:
ahol P és Q első- és másodfajú asszociált Legendre-függvények. Ezekre a Legendre-függvényekre gyakran hivatkoznak úgy, mint Legedre-harmonikusokra.
A toroid harmonikusoknak több érdekes tulajdonságuk van. Elvégezve a helyettesítést, akkor például a eltűnési renddel és a esetben:
és
ahol és rendre első- és másodfajú elliptikus integrálok. A többi toroid harmonikus kifejezhető teljes elliptikus integrálokkal.
Egy klasszikus alkalmazás a differenciálegyenletek megoldása, köztük Laplace egyenletéé, ami szétválasztható a toroid koordináta-rendszerben. A Helmholtz-egyenlet ezzel szemben nem választható szét a toroid koordináta-rendszerben. Tipikus példák egy vezető gyűrű vagy elfajult esetben egy vezető kör elektromos mezeje és potenciálja. Alternatív szétválasztás Egy alternatív helyettesítés: (Andrews 2006)
ahol
Ezzel ismét egy szétválasztható egyenlethez jutunk. A változók szétválasztásával:
ahol minden függvény a következők lineáris kombinációja:
Habár itt ugyanazok a harmonikus függvények jelennek meg, most az argumentum helyett, és és indexei megcserélődtek. Ez hasznos, hogyha a peremfeltételek függetlenek a szférikus szögtól, például egy töltött gyűrű, két párhuzamos sík vagy egy végtelen félsík. A hiperbolikus koszinuszt vagy hiperbolikus kotangenst argumentumában tartalmazó toroid harmonikusokhoz kapcsolódó azonosságokat a Whipple-képletek tartalmazzák.
Források Byerly, W E. (1893) An elementary treatise on Fourier's series and spherical, cylindrical, and ellipsoidal harmonics, with applications to problems in mathematical physics Ginn & co. pp. 264–266
Fordítás
Kategória:Analitikus geometria