Bernoulli törvénye azt mondja ki, hogy egy közeg áramlásakor (a közeg lehet például víz, de levegő is) a sebesség növelése a nyomás csökkenésével jár. Például, ha valaki egy papírlapot tart vízszintesen tartott tenyere alá és ujjai közé fúj, a papírlap a tenyeréhez tapad. Ennek oka, hogy a levegő sebessége a papír és tenyere közötti résben felgyorsul, nyomása lecsökken, a lap alatti nyomás azt a tenyeréhez szorítja. A Bernoulli-törvény pontosabban azt mondja ki, hogy áramló közegben egy áramvonal mentén a különböző energia-összetevők összege állandó. A törvényt a holland-svájci matematikus és természettudós Daniel Bernoulliról nevezték el, noha ezt már korábban felismerte a szintén bázeli Leonhard Euler és mások.
Bernoulli egyenletei A Bernoulli-egyenleteknek két különböző formája van, az egyik összenyomhatatlan közeg áramlására, a másik összenyomható közeg áramlására alkalmazható.
Összenyomhatatlan közeg A Bernoulli-törvény szemléltetése vízzel|jobbra|bélyegkép|280x280px
Állandó földi nehézségi gyorsulás esetén (ezzel számolhatunk a Földön kis magasságkülönbségek mellett) az eredeti alak:
v = közeg sebessége az áramvonal mentén g = földi nehézségi gyorsulás h = magasság tetszőleges ponttól a gravitáció irányában p = nyomás az áramvonal mentén = a közeg sűrűsége
A fenti egyenlet érvényességének feltétele: Viszkozitás (belső súrlódás) nélküli közeg Stacionárius, vagy időben állandósult áramlás Összenyomhatatlan közeg; = állandó az áramvonal mentén. Megengedett azonban, hogy a sűrűség az egyes áramvonalak között változzék. Általában az egyenlet egy adott áramvonal mentén érvényes. Állandó sűrűségű potenciálos áramlás esetén azonban igaz az áramlás minden pontjára.
A nyomás csökkenését a sebesség növekedésével, ahogy az a fenti egyenletből következik, Bernoulli törvényének szokás hívni.
Az egyenletet ebben az alakjában először Leonhard Euler vezette le.
Összenyomható közeg
A Bernoulli-törvény szemléltetése levegővel|jobbra|bélyegkép|280x280px Az egyenlet általánosabb alakja összenyomható közegekre írható fel, amely esetben egy áramvonal mentén:
ahol = az egységnyi tömegre eső helyzeti energia, állandó nehézségi gyorsulás esetén = a közeg egységnyi tömegére eső entalpiája Megjegyezzük, hogy ahol a közeg egységnyi tömegére eső termodinamikai energia, vagy fajlagos belső energiája.
A jobb oldalon szereplő konstanst gyakran Bernoulli-állandónak hívják és -vel jelölik.
Állandósult súrlódásmentes adiabatikus áramlás esetén (nincs energiaforrás vagy nyelő) állandó bármely adott áramvonal mentén.
Amikor egy lökéshullám jelentkezik, a lökéshullámon áthaladva a Bernoulli-egyenlet több paramétere hirtelen változást szenved, de maga a Bernoulli-szám változatlan marad.
Levezetése Összenyomhatatlan közegre Összenyomhatatlan közegre a Bernoulli-egyenletet az Euler-egyenletek integrálásával vagy az energiamegmaradás törvényéből lehet levezetni, amit egy áramvonal mentén két keresztmetszetre kell alkalmazni, elhanyagolva a viszkozitást és a hőhatásokat.
A legegyszerűbb levezetésnél először a gravitációt is figyelmen kívül hagyjuk és csak a szűkülő és bővülő szakaszok hatását vizsgáljuk egy egyenes csőben. Legyen az x tengely a cső tengelye is egyben.
Egy folyadékrész mozgásegyenlete a cső tengelye mentén:
Állandósult áramlás esetén , így
Ha állandó, a mozgásegyenletet így lehet írni:
vagy
ahol a állandó, ezt néha Bernoulli-állandónak hívják. Látható, hogy ha a sebesség nő, a nyomás csökken. A fenti levezetés folyamán nem hivatkoztunk az energiamegmaradás elvére. Az energiamegmaradást a mozgásmennyiség egyenletének egyszerű átalakításából kaptuk. Az alábbi levezetés tartalmazza a gravitáció figyelembevételét és nem egyenesvonalú áramlás esetén is fennáll, de fel kell tételeznünk, hogy az áramlás súrlódásmentes, nincsenek energiaveszteséget okozó erőhatások.
középre|frame|Egy folyadékrész balról jobbra áramlik. Feltüntettük a nyomást, a magasságot, a sebességet, egy idő alatt megtett (s) utat és a keresztmetszet területét
A munkatételt, avagy a kinetikai energia elvét alkalmazva írható: a közegre ható erők eredőjének munkája = kinetikai energia megváltozása
A nyomáskülönbségből származó erők munkája:
A nehézségi erő munkája:
A kinetikai energia növekedése:
A fentieket összevetve:
vagy
Mindkét oldalt elosztva -vel, -val és -val (= térfogatáram = , mivel a közeg összenyomhatatlan):
vagy, ahogy az első pontban állítottuk:
Leosztva g-vel:
Egy h magasságból szabadon eső test végsebessége (vákuum esetében): vagy .
A kifejezést sebesség magasságnak hívják.
A hidrosztatikai nyomás vagy statikus magasság definíciója:
, vagy . A kifejezést nyomásmagasságnak is hívják.
Összenyomható közegekre Összenyomható közegre a levezetés hasonló. A levezetésben ismét felhasználjuk (1) a tömeg és (2) az energia megmaradását. A tömeg megmaradása azt jelenti, hogy a fenti ábrán az és az keresztmetszeten a időintervallum alatt átáramló közeg tömege egyenlő:
. Az energia megmaradását hasonló módon alkalmazzuk: feltételezzük, hogy az áramcső térfogatában az és keresztmetszet között az energia változása kizárólag a két határkeresztmetszeten beáramló és eltávozó energiától függ. Egyszerűbben szólva feltételezzük, hogy belső energiaforrás (például rádióaktív sugárzás, vagy kémiai reakció) vagy energiaelnyelés nem áll fenn. Az összenergia változása tehát nulla lesz:
ahol és az energia mennyisége, amely az keresztmetszeten beáramlik és a keresztmetszeten távozik.
A bejövő energia a közeg mozgási energiája, a közeg gravitációs helyzeti energiájának, a közeg termodinamikai energiájának és a mechanikai munka alakjában jelentkező energiájának az összege:
Hasonló összefüggést lehet felírni a -re is. Így behelyettesítve a ezt kapjuk:
amit így át lehet alakítani:
Felhasználva a korábbi összefüggést a tömeg megmaradásra, így lehet egyszerűsíteni:
Ez a Bernoulli-egyenlet összenyomható közegre.
Irodalom Budó Ágoston (1967): Kísérleti Fizika I. Tankönyvkiadó, Budapest
További információk Bernoulli-törvénye és a barackok – YouTube videó a törvényt szemléltető egyik kísérletről
Kategória:Áramlástan Kategória:Nyomás