thumb|Egy vektor és lineáris burka, A lineáris algebrában egy vektortér részhalmazának lineáris burka, más néven lineáris lezártja, generált vektortere azokból a vektorokból áll, amelyek előállnak a részhalmaz elemeinek, mint vektoroknak lineáris kombinációjaként, a vektortér alaptestének elemeivel, mint együtthatókkal. A lineáris burok altér, mégpedig a legkisebb altér, ami a halmaz minden elemét tartalmazza. Definíció thumb|A kék sík a és veltorok lineáris burka. ( a két vektor lineáris kombinációja) Konstruktív definíció Legyen vektortér a test fölött, és részhalmaza a vektortérnek! Ekkor lineáris burka:
Siegfried Bosch: Lineare Algebra. Springer, 2001, , S. 29–30
A lineáris burok elemeinek összes lineáris kombinációja.
Ha véges, akkor a definíció a következőre egyszerűsödik:
.
Az üres halmaz lineáris burka a nullvektortér, vagyis
,
mivel vektorok üres összege definíció szerint a nullvektor.
További definíciók A konstruktív definícióval ekvivalens definíciók: Egy vektortér részhalmazának lineáris burka a legkisebb vektortér, ami tartalmazza az halmazt Egy vektortér részhalmazának lineáris burka az a vektortér, ami előáll az halmazt tartalmazó alterek metszeteként Jelölés Egy halmaz lineáris burkának jelölése , vagy , ha véges.
Tulajdonságok Legyenek és részhalmazok a test fölötti vektortérben; ekkor:
Mivel ezek a tulajdonságok teljesülnek, azért a lineáris burokképzés burokoperátor.Dietlinde Lau: Algebra und Diskrete Mathematik 1. Springer, , Seite 162
Teljesülnek továbbá: Egy vektortér részhalmazának lineáris burka altere -nek Egy vektortér alterének lineáris burka Vektorok egy halmaza lineáris burkának generátorrendszere. Ha vektorok egy halmaza generál egy alteret, akkor a vektorhalmaz lineáris burka az altér. Két altér, összege, uniójuk lineáris burka. Tehát Legyen egy vektortér altereinek halmaza ; ekkor bevezethető egy kétaritású művelet, ami veszi az operandusok uniójának lineáris burkát. Ennek a duális művelete a metszetképzés. Ezekkel a műveletekket háló. Ha ugyanannak a térnek az altere, akkor a lineáris burokra teljesül a dimenziótétel: . Példák Egyetlen vektor lineáris burka egy origón áthaladó egyenes A és a vektorok az vektortérben. Lineáris burkuk éppen az - sík. Legyen a formális hatványsorok vektortere a test fölött, és legyen a monomok halmaza. Ekkor lineáris burka a polinomok halmaza: .
Forrás Gerd Fischer: Lineare Algebra. Eine Einführung für Studienanfänger (Grundkurs Mathematik). 17. Auflage, Vieweg+Teubner-Verlag, Wiesbaden 2010. , 384 Seiten. Jegyzetek
Fordítás
Kategória:Lineáris algebra