A lineáris algebrában a polarizációs formulával egy szimmetrikus bilineáris forma, illetve egy hermitikus szeszkvilineáris forma ábrázolható a hozzájuk tartozó kvadratikus alak segítségével.
Alkalmazásának egy fontos esete a skalárszorzat és az általa indukált norma kapcsolata. Egy skalárszorzatos vektortérben az indukált norma számítása . A polarizációs formulával a skalárszorzat kiszámítható az általa indukált normából, ha a norma skalárszorzatból származik. A norma akkor származik skalárszorzatból, ha teljesíti a paralelogrammaazonosságot. Valós eset Legyen vektortér az valós számok teste fölött, és legyen szimmetrikus bilineáris forma, azaz
minden , esetén. A hozzá tartozó kvadratikus alak
Megfordítva, az kvadratikus alak is meghatározza a hozzá tartozó szimmetrikus bilineáris formát. Ezt a kapcsolatot a polarizációs formula fejezi ki:
Ez nem teljesül minden bilineáris formára, tehát a nem szimmetrikus esetekben nem. Legyenek mátrixok, és legyenek bilineáris formák úgy, hogy
Ekkor és különböznek, de ugyanazt a kvadratikus alakot határozzák meg.
Komplex eset Legyen vektortér a komplex számok teste fölött, és legyen szeszkvilineáris forma. A hozzá tartozó kvadratikus alak a valós esethez hasonlóan
A szeszkvilineáris formát is meghatározza kvadratikus alakja. A polarizációs formula komplex esetben:
ha első argumentumában szemilineáris, és
ha második argumentumában szemilineáris.
Források Oswald Riemenschneider: Lineare Algebra und Analytische Geometrie (pdf; 809 kB)- Vorlesungsskript, Uni Hamburg 2005, S. 82 Peter Knabner, Wolf Barth: Lineare Algebra. Grundlagen und Anwendungen. Berlin: Springer Spektrum (2018). /hbk 978-3-662-55600-9/ebook Fordítás
Kategória:Lineáris algebra